椭圆及其性质讲义1(题)

椭圆

一、知识梳理 1、 椭圆的定义: 椭圆的第一定义——平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆. 注：即设F1、F2是平面上两定点，F1F22c，P为平面上一动点，则 2cP点轨迹为椭圆PF1PF22a2cP点轨迹为线段F1F2. 2cP点轨迹不存在椭圆的第二定义——平面内，到一定点F与到一定直线l的距离之比为一常数e，且0e1的动点的轨迹叫做椭圆. 注：此定义中的定点即为椭圆的焦点，而定直线为对应的准线.这个地方的焦点和准线一定要对应，结合第一定义中的，焦点坐标和准线方程，我们可以算出比值e就是定义中的离心率，e=焦半径公式：椭圆上的点到椭圆焦点的距离. 焦半径MF【M（x0,y0）在椭圆上，F1、F2分别为左、右焦点】. 1aex0,MF2aex0； 2、 椭圆的标准方程: c. ax2y2y2x2212122abab若焦点在x轴上，则标准方程为；若焦点在y轴上，则标准方程为。其中ab0，222且abc. 3、（重点）椭圆的几何性质：焦点、顶点、长轴、短轴、a、b、c的关系: 定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于定长（F1F2）的点的轨迹 x2y2标准椭圆C1：221（ab0）； ab方 程 焦点坐标 顶点 几何性质 范围 对称性 y2x2椭圆C2：221（ab0）； ab F1c,0，F2c,0 F10,c，F20,c A1a,0，A2a,0； A10,a，A20,a； B10,b，B20,b； x≤a，y≤b； B1b,0，B2b,0； x≤b，y≤a； 关于x,y轴均对称，关于原点中心对称； a,b,c的关系 cab 1

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数学组 高中数学 4、直线与椭圆的位置关系: 将直线方程与椭圆方程联立组成方程组，消元后得到一个一元二次方程.根据判别式：当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＜0时，直线与椭圆相离. 焦点弦长公式：直线与椭圆方程相交通过联立方程应用韦达定理来求解得： AB1k2x1x2； 若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB1()5、椭圆的参数方程：（补充） 1k2y1y2. x2y221（ab0）的参数方程为： 2ab（表示离心角） x2y21的参数方程为 . 如：2516x2y26、点与椭圆的位置关系：设点Px0，y0，椭圆方程为221，则： ab1P在椭圆外PF1PF22axy11P在椭圆上PF1PF22a（其中F1、F2为椭圆焦点）. ab1P在椭圆内PFPF2a122022027、常用结论： x0xy0yx2y221. 11. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222ababx2y22. 若P0(x0,y0)在椭圆221外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是abx0xy0y21. 2ab3. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF. x2y2x2y21. 4. 与椭圆221（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为：2abakb2k5. 椭圆上的点与两焦点构成的三角形的面积：Sbtan22. 2b26. 通径长MN（其中MN是通过焦点F（或F2)且与长轴垂直的弦）. 1a 2 数学组 高中数学

二、典型例题及针对练习 x2y2例1 已知椭圆方程221ab0，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，求：F1PF2．ab． F1PF2的面积（用a、b、表示） ⑴求椭圆方程： 例2 已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为（0，2）求m的值． 例3 已知动圆P过定点A3， 0，并且在定圆B：x3y264的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程． [补例练习] 1、已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e22，短轴长为85，求椭圆的方程． 3x2y21的左、右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若PF13PF2，则P点到左准线的距离是（ ）2、椭圆 43A．2 B.4 C.6 D.8 x2y21的焦点，P是椭圆上的点，PF1PF2=5，则cosF1PF2等于（ ） 3、设F1、F2为椭圆84A．3311 B． C． D． 551010x2y24、设F2是椭圆221(ab0)的右焦点，P（x0,y0）是椭圆上的点，则PF2=（ ） abA．aex0 B．ex0a C．aex0 D．ex0a ⑵求离心率： 例4已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（） A． 3322 B． C． D． 3232例5 若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为 （ ） 3211A． B． C． D． 4324 例6 如图43-3，B（c,0），C（c,0），AHBC，垂足为H，且BH3HC. （1）若ABAC=0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率； 3 数学组 高中数学 （2）D分有向线段AB的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当5范围. [补例练习] 7时，求椭圆的离心率e的取值21x2y21的离心率为，则m=（ ）. 1．若焦点在x轴上的椭圆22mA．3 B．382 C． D． 23302．设F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF2120，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ） A．[3333,1) B．(,1) C．(0,) D．(0,] 2222x2y23．点P（-3，1）在椭圆221(ab0)的左准线上，过点P且方向为a(2,5)的光线，经直线y2反射ab后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A．1132 B． C． D． 3232x2y21的离心率e= . 4．已知m,n,mn依次成等差数列，又m，n，mn依次成等比数列，则椭圆mn 例7 当m为何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆x2y24相切、相交、相离？ x2y21所截得的线段的中点，求直线l的方程． 例8 已知P(4,2)是直线l被椭圆369 例9 已知椭圆4x2y21及直线yxm． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 210，求直线的方程． 5x2y21， 例10 已知椭圆2（1）求过点P，且被P平分的弦所在直线的方程； 4 1122 数学组 高中数学 （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过A21，引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ1，求线段PQ中点M的轨迹方程． 2 三、巩固练习 一、选择题 1、若椭圆的方程为4x29y2360，则其长轴长为 ( ) A 、3 B、 4 C、 6 D、 9 222．化简方程x(y3)x2(y3)2=10为不含根式的形式是（ ） x2y2x2y2x2y2x2y21 （B）1 （C）1 （D）1 （A）25162591625925 B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是( ) 3、若△ABC的两个顶点坐标A(4,0) ，y2x2x2y2A. 1 B. 1 259259y2x2x2y2C. 1 (y0) D. 1 (y0) 259259x2y21的焦距等于2，则m=( ) 4、椭圆m4A、5或3 B、8 C、5 D、6 5．已知椭圆的长轴长是8，离心率是3，则此椭圆的标准方程是 （ ） 4x2y2x2y2y2x21 B．1或1 A．169169169x2y2x2y2y2x21 D．1或1 C．167167167x2y26.设P为椭圆221上一点,F1,F2为焦点,如果PF1F2750,PF2F150, ab那么椭圆的离心率为 ( ) 623 A.2 B. C. D. 3322x27、(山西)椭圆y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=（ ）

4A．3 B．3 C．7 D．4 225

数学组 高中数学 8、椭圆的短轴长，焦距长，长轴长组成等差数列，则此椭圆的离心率为 ( ) A. 3433 B. C. D. 3552y2x21的焦点为F1和F2 ，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在x轴上，那么|PF2|是 |PF1|的9、椭圆123( ) 111倍 B、倍 C、倍 D、7倍 754x2y21的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 10、如果椭圆369A、x2y0 B、x2y40 C、2x3y120 D、x2y80 A、 二、填空题 x2y21的焦点, 则a . 11、直线2xay30过椭圆812xy212． 方程21表示在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 。 2m(m1)13．椭圆的两焦点把长轴长分成三等分，则这个椭圆的离心率是 。 x2y214．如图，F1，F2分别为椭圆221的左、右焦点， ab点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则 b的值是 . 三、解答题 15、求以椭圆4x23y248的焦点为焦点，且过点(,2)的椭圆标准方程。 253y2x21上一点，F1,F2为椭圆的焦点，且△F1MF2的面积等于8，求点M的坐标。 16、已知点M是椭圆259 x2y21上的点,设F1,F2为椭圆的焦点,若F1PF2600,求 △F1PF2的面积。 17、设P为椭圆10064 6

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y2x218、如图，已知斜率为1的直线l过椭圆1的下焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB之长。 84 y O F A B x 19、已知椭圆C的焦点F1（－22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线yx2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。 20、当m取何值时，直线yxm与椭圆9x216y2144相切、相离、相交？ 7