一、选择题
1. 设函数的集合
,平面上点的集合
,则在同一直角坐标系中,P中函数
的图象恰好经过Q中
两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10
2. O为坐标原点,F为抛物线A.1
B.
C.
D.2
,则S2015的值是( )
P是抛物线C上一点, 的焦点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )
3. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an+A.
B.
C.2015 D.
4. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm,则球的表面积是( ) A.8πcm2
B.12πcm2 C.16πcm2 D.20πcm2
5. 已知f(x)=m•2x+x2+nx,若{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0}≠∅,则m+n的取值范围为( ) A.(0,4) B.[0,4) C.(0,5] D.[0,5]
6. 已知命题p:x0,xA.x0,x12,则p为( ) x112 B.x0,x2 xx11C.x0,x2 D.x0,x2
xx7. 某市重点中学奥数培训班共有14人,分为两个小组,在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是,则mn的值是( )
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A.10 B.11 C.12 D.13
【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识,意在考查识图能力和计算能力. 8. 如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm)检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为( )
A.20 B.25 C.22.5 D.22.75
9. 若直线y=kx﹣k交抛物线y2=4x于A,B两点,且线段AB中点到y轴的距离为3,则|AB|=( ) A.12
B.10
C.8
D.6
22
内任意取一点P(x,y),则x+y<1的概率是( )
10.在区域A.0
B. C. D.
11.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml(不含80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80mg/100ml(含80)以上,属于醉酒驾车.据《法制晚报》报道,2011年3月15日至3月28日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人,如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为( )
A.2160 B.2880 C.4320 D.80
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12.执行如图所示的程序,若输入的x3,则输出的所有x的值的和为( ) A.243 B.363 C.729 D.1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算,意在考查识图能力、简单的计算能力.
二、填空题
yxy22xy3x213.已知x,y满足xy4,则的取值范围为____________. 2xx114.球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为 .
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15.直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 . 16.已知Sn是数列{___________.
nn}|1|SnN的前项和,若不等式对一切恒成立,则的取值范围是nnn1n122【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题,意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力. 17.命题“若a>0,b>0,则ab>0”的逆否命题是 (填“真命题”或“假命题”.)
18.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 cm3.
三、解答题
19.已知函数
且f(1)=2.
(1)求实数k的值及函数的定义域;
(2)判断函数在(1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.
20.设函数f(x)=1+(1+a)x﹣x2﹣x3,其中a>0. (Ⅰ)讨论f(x)在其定义域上的单调性;
(Ⅱ)当x∈时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.
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21.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的极坐标.
22.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C,AC1与A1C相交于点D.
(1)求证:BD⊥平面AA1C1C; (2)求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值.
.
23.
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(本小题满分10分)如图⊙O经过△ABC的点B,C与AB交于E,与AC交于F,且AE=AF. (1)求证EF∥BC;
(2)过E作⊙O的切线交AC于D,若∠B=60°,EB=EF=2,求ED的长.
24.如图所示,已知在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=5,AB=7,BD=8,∠BCD=135°. (1)求∠BDA的大小 (2)求BC的长.
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苏尼特右旗民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参) 一、选择题
1. 【答案】B
【解析】本题考查了对数的计算、列举思想
a=-时,不符;a=0时,y=log2x过点(,-1),(1,0),此时b=0,b=1符合; a=时,y=log2(x+)过点(0,-1),(,0),此时b=0,b=1符合;
a=1时,y=log2(x+1)过点(-,-1),(0,0),(1,1),此时b=-1,b=1符合;共6个 2. 【答案】C
【解析】解:由抛物线方程得准线方程为:y=﹣1,焦点F(0,1), 又P为C上一点,|PF|=4, 可得yP=3,
代入抛物线方程得:|xP|=2∴S△POF=|0F|•|xP|=故选:C.
3. 【答案】D 【解析】解:∵2Sn=an+当n=2时,2(1+a2)=同理可得猜想验证:2Sn==
因此满足2Sn=an+∴∴Sn=∴S2015=故选:D.
.
.
, .
=
,
. .
…+
=
,
,∴
,化为
,解得a1=1.
=0,又a2>0,解得
,
.
,
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【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用,考查了由特殊到一般的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
4. 【答案】B
【解析】解:正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则2R=
2
,S=4πR=12π
=2R,
故选B
5. 【答案】B
【解析】解:设x1∈{x|f(x)=0}={x|f(f(x))=0}, ∴f(x1)=f(f(x1))=0, ∴f(0)=0, 即f(0)=m=0, 故m=0;
2
故f(x)=x+nx,
f(f(x))=(x2+nx)(x2+nx+n)=0, 当n=0时,成立;
2
当n≠0时,0,﹣n不是x+nx+n=0的根, 2
故△=n﹣4n<0,
故0<n<4;
综上所述,0≤n+m<4; 故选B.
【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用,同时考查了方程的根的判断,属于中档题.
6. 【答案】D 【解析】
考
点:全称命题的否定. 7. 【答案】C
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788884869290m9588,解得m3.乙组中8892,
7所以n9,所以mn12,故选C.
【解析】由题意,得甲组中8. 【答案】C
【解析】解:根据频率分布直方图,得; ∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5, 0.3+0.08×5=0.7>0.5; ∴中位数应在20~25内, 设中位数为x,则 0.3+(x﹣20)×0.08=0.5, 解得x=22.5;
∴这批产品的中位数是22.5. 故选:C.
【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题,是基础题目.
9. 【答案】C
2
【解析】解:直线y=kx﹣k恒过(1,0),恰好是抛物线y=4x的焦点坐标, 设A(x1,y1) B(x2,y2)
2
抛物y=4x的线准线x=﹣1,线段AB中点到y轴的距离为3,x1+x2=6,
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8, 故选:C.
【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义,主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离.
10.【答案】C
【解析】解:根据题意,如图,设O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1), 分析可得区域
表示的区域为以正方形OABC的内部及边界,其面积为1;
=
,
x2+y2<1表示圆心在原点,半径为1的圆,在正方形OABC的内部的面积为
22
由几何概型的计算公式,可得点P(x,y)满足x+y<1的概率是
=
;
故选C.
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【点评】本题考查几何概型的计算,解题的关键是将不等式(组)转化为平面直角坐标系下的图形的面积,进而由其公式计算.
11.【答案】C
【解析】解:由题意及频率分布直方图的定义可知:属于醉酒驾车的频率为:(0.01+0.005)×10=0.15, 又总人数为28800,故属于醉酒驾车的人数约为:28800×0.15=4320. 故选C
12.【答案】D
【解析】当x3时,y是整数;当x3时,y是整数;依次类推可知当x3n(nN*)时,y是整数,则
2由x31000,得n7,所以输出的所有x的值为3,9,27,81,243,729,其和为1092,故选D.
n二、填空题
13.【答案】2,6 【解析】
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考点:简单的线性规划.
【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数
22的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义:(1)xy表示点
x,y与原点0,0的距离;(2)xaybyb22表示点x,y与点a,b间的距离;(3)
y可表示点xx,y与0,0点连线的斜率;(4)xa表示点x,y与点a,b连线的斜率.
14.【答案】
【解析】解:由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB⊥面ABC,所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上,根据球体的对称性可知,当S在“最高点”,也就是说H为AB中点时,SH最大,棱锥S﹣ABC的体积最大. ∵△ABC是边长为2的正三角形,所以球的半径r=OC=在RT△SHO中,OH=
OC=
OS
CH=
.
.
∴∠HSO=30°,求得SH=OScos30°=1, ∴体积V=故答案是
Sh=.
×
×2×1=
2
.
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【点评】本题考查锥体体积计算,根据几何体的结构特征确定出S位置是关键.考查空间想象能力、计算能力.
15.【答案】 3 .
【解析】解:把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2,把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3, ∴直线与坐标轴的交点为(0,﹣2)和(﹣3,0), 故三角形的面积S=×2×3=3, 故答案为:3.
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式,属基础题.
16.【答案】31 【解析】由Sn121111S12…,n2n22n122221111111n2n2(n1)n1nn,两式相减,得Sn12n1nn2n,所以Sn4n1,
2222222222|4n1对一切nN恒成立,得|1|2,解得31. 于是由不等式|12(n1)n17.【答案】 真命题
【解析】解:若a>0,b>0,则ab>0成立,即原命题为真命题, 则命题的逆否命题也为真命题, 故答案为:真命题.
1132221
【点评】本题主要考查命题的真假判断,根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键.
18.【答案】 6
【解析】解:过A作AO⊥BD于O,AO是棱锥的高,所以AO=所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V=故答案为:6.
=6.
=
,
三、解答题
19.【答案】
【解析】解:(1)f(1)=1+k=2;
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∴k=1,
(2)为增函数;
,定义域为{x∈R|x≠0};
证明:设x1>x2>1,则:
==
∵x1>x2>1; ∴x1﹣x2>0,∴f(x1)>f(x2);
∴f(x)在(1,+∞)上为增函数.
20.【答案】
2
【解析】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1+a﹣2x﹣3x,
;
,;
由f′(x)=0,得x1=∴由f′(x)<0得x<由f′(x)>0得故f(x)在(﹣∞,在(
(Ⅱ)∵a>0,∴x1<0,x2>0,∵x∈,当
,
,x2=,x><x<)和(
)上单调递增;
;
,x1<x2, ;
,+∞)单调递减,
时,即a≥4
①当a≥4时,x2≥1,由(Ⅰ)知,f(x)在上单调递增,∴f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.②当0<a<4时,x2<1,由(Ⅰ)知,f(x)在单调递增,在上单调递减, 因此f(x)在x=x2=
处取得最大值,又f(0)=1,f(1)=a,
∴当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值; 当a=1时,f(x)在x=0和x=1处取得最小值; 当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.
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21.【答案】
2
【解析】解:(1)圆O:ρ=cosθ+sinθ,即ρ=ρcosθ+ρsinθ, 2222
故圆O 的直角坐标方程为:x+y=x+y,即x+y﹣x﹣y=0.
直线l:
为:y﹣x=1,即x﹣y+1=0. (2)由(0,1),
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为
,即ρsinθ﹣ρcosθ=1,则直线的直角坐标方程
,可得 ,直线l与圆O公共点的直角坐标为
.
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,属于基础题.
22.【答案】
【解析】解:(1)∵四边形AA1C1C为平行四边形,∴AC=A1C1, ∵AC=AA1,∴AA1=A1C1,
∵∠AA1C1=60°,∴△AA1C1为等边三角形, 同理△ABC1是等边三角形, ∵D为AC1的中点,∴BD⊥AC1, ∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,
平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1,BD⊂平面ABC1, ∴BD⊥平面AA1C1C.
(2)以点D为坐标原点,DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 平面ABC1的一个法向量为由题意可得
,
,1,1),
,设平面ABC的法向量为
,则
, ,
所以平面ABC的一个法向量为=(∴cosθ=
.
即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于
.
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【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直,并求二面角的平面角大小.着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识,属于中档题.
23.【答案】
【解析】解:(1)证明:∵AE=AF, ∴∠AEF=∠AFE.
又B,C,F,E四点共圆, ∴∠ABC=∠AFE,
∴∠AEF=∠ACB,又∠AEF=∠AFE,∴EF∥BC. (2)由(1)与∠B=60°知△ABC为正三角形, 又EB=EF=2, ∴AF=FC=2,
设DE=x,DF=y,则AD=2-y, 在△AED中,由余弦定理得 DE2=AE2+AD2-2AD·AEcos A.
1即x2=(2-y)2+22-2(2-y)·2×,
2∴x2-y2=4-2y,①
由切割线定理得DE2=DF·DC, 即x2=y(y+2), ∴x2-y2=2y,②
由①②联解得y=1,x=3,∴ED=3. 24.【答案】
【解析】(本题满分为12分)
解:(1)在△ABC中,AD=5,AB=7,BD=8,由余弦定理得=
∴∠BDA=60°…
…
…
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(2)∵AD⊥CD, ∴∠BDC=30°…
在△ABC中,由正弦定理得
∴. …
,…
第 16 页,共 16 页
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