苏尼特右旗民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 设函数的集合

，平面上点的集合

，则在同一直角坐标系中，P中函数

的图象恰好经过Q中

两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10

2． O为坐标原点，F为抛物线A．1

B．

C．

D．2

，则S2015的值是（ ）

P是抛物线C上一点， 的焦点，若|PF|=4，则△POF的面积为（ ）

3． 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+A．

B．

C．2015 D．

4． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（ ） A．8πcm2

B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2

5． 已知f（x）=m•2x+x2+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，则m+n的取值范围为（ ） A．（0，4） B．[0，4） C．（0，5] D．[0，5]

6． 已知命题p:x0,xA．x0,x12，则p为（ ） x112 B．x0,x2 xx11C．x0,x2 D．x0,x2

xx7． 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是，则mn的值是（ ）

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A．10 B．11 C．12 D．13

【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力． 8． 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（ ）

A．20 B．25 C．22.5 D．22.75

9． 若直线y=kx﹣k交抛物线y2=4x于A，B两点，且线段AB中点到y轴的距离为3，则|AB|=（ ） A．12

B．10

C．8

D．6

22

内任意取一点P（x，y），则x+y＜1的概率是（ ）

10．在区域A．0

B． C． D．

11．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上，属于醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2011年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）

A．2160 B．2880 C．4320 D．80

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12．执行如图所示的程序，若输入的x3，则输出的所有x的值的和为（ ） A．243 B．363 C．729 D．1092

【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．

二、填空题

yxy22xy3x213．已知x,y满足xy4，则的取值范围为____________. 2xx114．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为 ．

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15．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 16．已知Sn是数列{___________．

nn}|1｜SnN的前项和，若不等式对一切恒成立，则的取值范围是nnn1n122【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力． 17．命题“若a＞0，b＞0，则ab＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）

18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 cm3．

三、解答题

19．已知函数

且f（1）=2．

（1）求实数k的值及函数的定义域；

（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

20．设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0． （Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当x∈时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．

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21．在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．

22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．

（1）求证：BD⊥平面AA1C1C； （2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．

．

23．

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（本小题满分10分）如图⊙O经过△ABC的点B，C与AB交于E，与AC交于F，且AE＝AF. （1）求证EF∥BC；

（2）过E作⊙O的切线交AC于D，若∠B＝60°，EB＝EF＝2，求ED的长．

24．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°． （1）求∠BDA的大小 （2）求BC的长．

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苏尼特右旗民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】本题考查了对数的计算、列举思想

a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合； a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；

a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个 2． 【答案】C

【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1）， 又P为C上一点，|PF|=4， 可得yP=3，

代入抛物线方程得：|xP|=2∴S△POF=|0F|•|xP|=故选：C．

3． 【答案】D 【解析】解：∵2Sn=an+当n=2时，2（1+a2）=同理可得猜想验证：2Sn==

因此满足2Sn=an+∴∴Sn=∴S2015=故选：D．

．

．

， ．

=

，

． ．

…+

=

，

，∴

，化为

，解得a1=1．

=0，又a2＞0，解得

，

．

，

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【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

4． 【答案】B

【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2R=

2

，S=4πR=12π

=2R，

故选B

5． 【答案】B

【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}， ∴f（x1）=f（f（x1））=0， ∴f（0）=0， 即f（0）=m=0， 故m=0；

2

故f（x）=x+nx，

f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0， 当n=0时，成立；

2

当n≠0时，0，﹣n不是x+nx+n=0的根， 2

故△=n﹣4n＜0，

故0＜n＜4；

综上所述，0≤n+m＜4； 故选B．

【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．

6． 【答案】D 【解析】

考

点：全称命题的否定. 7． 【答案】C

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788884869290m9588，解得m3．乙组中8892，

7所以n9，所以mn12，故选C．

【解析】由题意，得甲组中8． 【答案】C

【解析】解：根据频率分布直方图，得； ∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5， 0.3+0.08×5=0.7＞0.5； ∴中位数应在20～25内， 设中位数为x，则 0.3+（x﹣20）×0.08=0.5， 解得x=22.5；

∴这批产品的中位数是22.5． 故选：C．

【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．

9． 【答案】C

2

【解析】解：直线y=kx﹣k恒过（1，0），恰好是抛物线y=4x的焦点坐标， 设A（x1，y1） B（x2，y2）

2

抛物y=4x的线准线x=﹣1，线段AB中点到y轴的距离为3，x1+x2=6，

∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8， 故选：C．

【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．

10．【答案】C

【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）， 分析可得区域

表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；

=

，

x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为

22

由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x+y＜1的概率是

=

；

故选C．

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【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．

11．【答案】C

【解析】解：由题意及频率分布直方图的定义可知：属于醉酒驾车的频率为：（0.01+0.005）×10=0.15， 又总人数为28800，故属于醉酒驾车的人数约为：28800×0.15=4320． 故选C

12．【答案】D

【解析】当x3时，y是整数；当x3时，y是整数；依次类推可知当x3n(nN*)时，y是整数，则

2由x31000，得n7，所以输出的所有x的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D．

n二、填空题

13．【答案】2,6 【解析】

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考点：简单的线性规划．

【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数

22的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1）xy表示点

x,y与原点0,0的距离；（2）xaybyb22表示点x,y与点a,b间的距离；（3）

y可表示点xx,y与0,0点连线的斜率；（4）xa表示点x,y与点a,b连线的斜率.

14．【答案】

【解析】解：由题意画出几何体的图形如图

由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大． ∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=在RT△SHO中，OH=

OC=

OS

CH=

．

．

∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1， ∴体积V=故答案是

Sh=．

×

×2×1=

2

．

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【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．

15．【答案】 3 ．

【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3， ∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0）， 故三角形的面积S=×2×3=3， 故答案为：3．

【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．

16．【答案】31 【解析】由Sn121111S12…，n2n22n122221111111n2n2(n1)n1nn，两式相减，得Sn12n1nn2n，所以Sn4n1，

2222222222｜4n1对一切nN恒成立，得|1｜2，解得31． 于是由不等式|12(n1)n17．【答案】 真命题

【解析】解：若a＞0，b＞0，则ab＞0成立，即原命题为真命题， 则命题的逆否命题也为真命题， 故答案为：真命题．

1132221

【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．

18．【答案】 6

【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO=所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V=故答案为：6．

=6．

=

，

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）f（1）=1+k=2；

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∴k=1，

（2）为增函数；

，定义域为{x∈R|x≠0}；

证明：设x1＞x2＞1，则：

==

∵x1＞x2＞1； ∴x1﹣x2＞0，∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．

20．【答案】

2

【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x，

；

，；

由f′（x）=0，得x1=∴由f′（x）＜0得x＜由f′（x）＞0得故f（x）在（﹣∞，在（

（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈，当

，

，x2=，x＞＜x＜）和（

）上单调递增；

；

，x1＜x2， ；

，+∞）单调递减，

时，即a≥4

①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在单调递增，在上单调递减， 因此f（x）在x=x2=

处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，

∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值； 当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值； 当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．

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21．【答案】

2

【解析】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ=ρcosθ+ρsinθ， 2222

故圆O 的直角坐标方程为：x+y=x+y，即x+y﹣x﹣y=0．

直线l：

为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0． （2）由（0，1），

故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为

，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程

，可得 ，直线l与圆O公共点的直角坐标为

．

【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．

22．【答案】

【解析】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1， ∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，

∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形， 同理△ABC1是等边三角形， ∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1， ∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，

平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1， ∴BD⊥平面AA1C1C．

（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 平面ABC1的一个法向量为由题意可得

，

，1，1），

，设平面ABC的法向量为

，则

， ，

所以平面ABC的一个法向量为=（∴cosθ=

．

即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于

．

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【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：（1）证明：∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE.

又B，C，F，E四点共圆， ∴∠ABC＝∠AFE，

∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEF＝∠AFE，∴EF∥BC. （2）由（1）与∠B＝60°知△ABC为正三角形， 又EB＝EF＝2， ∴AF＝FC＝2，

设DE＝x，DF＝y，则AD＝2－y， 在△AED中，由余弦定理得 DE2＝AE2＋AD2－2AD·AEcos A.

1即x2＝（2－y）2＋22－2（2－y）·2×，

2∴x2－y2＝4－2y，①

由切割线定理得DE2＝DF·DC， 即x2＝y（y＋2）， ∴x2－y2＝2y，②

由①②联解得y＝1，x＝3，∴ED＝3. 24．【答案】

【解析】（本题满分为12分）

解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得=

∴∠BDA=60°…

…

…

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（2）∵AD⊥CD， ∴∠BDC=30°…

在△ABC中，由正弦定理得

∴． …

，…

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