2015-2016学年度山东省滕州市鲍沟中学北师大版九年级数学下册第三章圆圆周角与圆心角的关系教案

2015-2016学年度山东省滕州市鲍沟中学北师大版九年级数学下册第三章圆圆周角与圆心角的关系教案

2015-2016学年度山东省滕州市鲍沟中学北师大版九年级数学下册第三章圆
3.4圆周角与圆心角的关系教案
1．教学设计说明：
圆周角的概念及其定理是中考经常考察的内容，尤其是圆周角的定理的应用更是重点和难点，它里面渗透着数形结合、分类讨论等多种数学思想和方法，也是这一部分的一个重点内容．我这节课的设计思路是：足球射门引出课题——自学圆周角定义——练习辨析哪些是圆周角——测量圆周角与圆心角度数得出结论——引出圆周角定理——分情况证明——总结知识——巩固联系——布置作业．

2．教学分析
（1）教材分析
本节课是圆周角的第一节课，其内容是在学生已经学习圆心角、弧、弦之间的关系的基础上进行研究的，通过本课的学习，一方面可以巩固圆心角与弧的关系定理，另一方面也是今后学习圆的性质的重要基础，在教材中处于承上启下的重要位置．另外，通过对圆周角的定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类讨论的思维方法．因此，本节课无论在知识上，还是在方法上都起着十分重要的作用．

（2）学情分析
学生已经了解圆中的基本概念，会判断圆心角，基本掌握圆心角的相关性质，熟练掌握了三角形外角和定理．初三学生已经具备一定的独立思考和探索能力，并能在探索过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法．因此，本节课设计了自学和探究活动，给学生提供自主探索与交流的空间，体现知识的形成过程．

3．教学目标：
知识与技能目标：
1．了解圆周角与圆心角的关系．

2．掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．

3．能运用圆周角的性质解决问题．

过程与方法目标：
1．通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力．

2．通过观察图形，提高学生的识图能力．

-1 -
3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力．

情感、态度与价值观目标：
在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论、转化的数学思想解决问题，引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．

4．教学重点和难点：
重点:圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．

难点:发现并论证圆周角定理．

5．课时设计
两课时
6．教学方法
教学中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用多媒体课件在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强了学生的参与程度，提高了学习的积极性．

7．教学过程
第一环节情境导入
当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角有什么共同特点？

【设计意图】从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质．

第二环节圆周角的概念
1．观察∠AEC、∠ABC、∠ADC的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？

这三个角的共同点有两个：①顶点都在圆周上；②两边都与圆相交．

-2 -
2．请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？（只有2是正确的）
【设计意图】为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现

正例和反例，可以帮助学生对本质属性与非本质属性进行比较．

第三环节探究圆周角定理

1．画一个圆，再任意画一个圆周角，看一下圆心在什么位置

?

2．如图，观察同弧所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC，它们的大小有什么关系

?

3．圆周角和圆心角的关系
（1）第一种情况：
当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系．

-3 -
∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A，?OA?OB??A??B??AOC?2?B，即?ABC?

（2）第二种情况：1?AOC2
当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样

11?AOD,?CBD??COD.221??ABC??AOC2?ABD?

（3）第三种情况：
当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部时，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样

?

过点B做直径BD，由1可得，
11?AOD,?CBD??COD.221??ABC??AOC2?ABD?

结论：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

4．同弧所对圆周角的度数有什么关系
当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成的圆周角∠ABC，∠ADC，∠AEC这三个角的大小有什么关系?．

-4 -
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

5．探讨：∠AC1B、∠AC2B、∠AC3B所对的弧或弦有什么特征？它们的度数是多少？

结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

【设计意图】通过观察度量、实验操作、图形变换、推理来探索图形的性质，从而让学生学会分析问题和解决问题的方法．另外，尽可能地从教学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，以强

化对数学知识的学习与理解，加强数学语言的运用与表达．第四环节

例题讲解

例1．如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．

例2．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，则∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？

-5 -
例3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E，
??DE?．

求证：BD
例4．如图，P是△ABC的外接圆上的一点，∠APC=∠CPB=60°．求证：△ABC是等边三角形
【设计意图】通过转化考查了学生对定理的理解和应用，并使学生在

从复杂的图形中分解出基本图形的训练中，培养空间识图能力．

参考答案：

1．

解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.

在Rt△ABC
中，BC???8
?∵CD平分∠ACB,??AD?BD
又在Rt△ABD中，AD?BD?

AB222

?AD?BD?AB?10?cm)22
2．∠ACB=2∠BAC
因为∠AOB=2∠ACB（同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半）

∠BOC=2∠BAC

-6 -
3．证明：连接AD，∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°.?AD?BC ?AB?AC ∴AD平分∠BAC,即?BAD??CAD,

??DE??BD
4．解：∵∠APC=∠CPB
∴AC=BC
∵四边形APBC内接于圆
∴∠ACB＝180°-∠APB＝180°-120°=60°∴⊿

ABC是等边三角形
第五环节巩固练习

1．如图，与∠BAC相等的角有 ．

2．如图AB是⊙O的直径，C
，D是圆上的两点，若∠ABD=40°，则∠BCD=＿＿＿＿＿．

3．如图，⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上的一点．∠ABC=30°．求

AC的长．

4．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．根据下图，你能判断哪个是半圆形吗?为什么?

-7 -
参考答案：

1．∠BDC 2．50°
3．解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，?AC?

4．(2)
【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况．对圆的圆周角定理及

推论的理解应用．第六环节反思升华

引导学生从以下几个方面进行小结：

（1）你学到了哪些知识？

（2）你是用什么方法获得这些知识的？

（3）本节课你还有什么问题没有解决吗？

【设计意图】通过归纳总结，使学生优化概念，内化知识．

第七环节课后作业

1．如图1，圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是（）

A．156° B．78°

C．39°

D．12°

1AB，即：AC=5cm.2
?2．如图2，CD?AB于E，若?B?60，则?A? ．

3．如图3，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB的度数为_____．

4．如图4，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安

?5．如图5，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，?EOD?40，则?DCF? ．

参考答案：

1．C

2．30°

3．50°

4．3

5．20°

板书设计

-8-
教学反思
在我们的日常生活中，圆周角和圆心角的现象无处不在，对于这两个概念的体验尤为重要．反思这节课，我有以下体会：
1．“足球训练场上关于足球射门”的实际问题情景直指数学问题，使数学问题的形成和提出自然且亲近．重视联系学生的生活实际，让学生体验到生活中处处有数学．通过这个问题，让学生直观看到真实的世界中的“圆周角和圆心角”，加强学生的感性认识．

2．用多种感官感受数学，培养数学情感．学生在本课中不是用耳朵听数学，而是用眼睛观察数学现象，通过数学教具的演示来理解数学知识，用数学知识解释身边的数学现象，在自学、探讨、交流、分析中获得数学概念，拉近了抽象的数学概念与生活实际的距离．

3．重视数学知识的形成过程，让学生感受到学习数学的快乐．通过一系列的问题链引导学生进行实践操作，观察比较，分类确认，使圆周角与圆心的位置关系形成分类这一主要难点自然形成且直观；并且引导学生从三种情况进行分析，推导圆周角定理的证明过程．定理学完后，马上进

行适当的练习加以巩固，让学生在思考与回答的过程中体会到学习数学的

快乐． 在上述探索过程中，从特殊到一般，再从一般到特殊，直观

感知、合情推理与严格验证相得益彰．以学生活动为核心，适时渗透了“分

类”、“化归”、“归纳”等数学思想，有效提高了学生的推理能力，充分体

现学生的主体性与教师的启导作用．但教师将时间安排过于紧凑，应多给

学生一些思考的时间．该放手时就放手，更充分相信学生．这是我教学中

的不足，应努力改正．

-9 -