2016-2017学年福建省福州外国语学校高三（上）9月月考数学
试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁RB）=（ ）
A．（1，4）B．（3，4） | C．（1，3） | D．（1，2）∪（3，4） |
2．已知复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1•z2是实数，则实数t等于（ ）
A． | B． | C．﹣ | D．﹣ |
3．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单递减的函数是（ ）
A．y=lnB．y=x3C．y=ln（x+）D．y=sin2x
4．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．3 | B．4 | C．5 | D．6 |
5．等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．为了得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度
C．向上平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
D．向下平移个单位长度
7．设是单位向量，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中正确的有（ ）
①设有一个回归方程=2﹣3x，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3 个单位；
②命题P：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定¬P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；
③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”必要不充分条件；
④在一个2×2列联表中，由计算得k2=6.679，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系．
本题可以参考独立性检验临界值表
P（K2≥k） | 0.5 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.535 | 7.879 | 10.828 |
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足2a+＞b且2c＜1，则含有f（x）的零点的一个区
间是（ ）
A．（0，2）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（﹣2，0）
10．已知直线l与平面α平行，P是直线l上的一定点，平面α内的动点B满足：PB与直
线l成30°．那么B点轨迹是（ ）
A．两直线 | B．椭圆C．双曲线 | D．抛物线 |
11．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何
体的体积是（ ）
A． B．1 C． D．2
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），
若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知tanα=2，则4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α= ．
14．设m=20152016，n=20162015，则m，n的大小关系为 ．
15．已知实数x，y满足，则的最小值是 ．
16．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x°，且x°＜0，则a的取值范围
是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
（Ⅰ）若PB=，求PA；
（Ⅱ）若∠APB=150°，设∠PBA=α，求tan2α值．
18．如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．
（1）求证：EA⊥EC；
（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．
①试证：EF∥AB；
②若EF=1，求三棱锥E﹣ADF的体积．
19．某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列．
（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；
（Ⅱ）若B大学决定在成绩高的第4，5组中用
分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人
进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率．
20．已知正项数列{an}满足a1=2且（n+1）an2+anan+1﹣nan+12=0（n∈N*）
（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列；
（Ⅱ）若记bn=，Sn=b1+b2+…+bn．求证：Sn＜．
21．已知抛物线C：y2=4x，过点A（﹣1，0）的直线交抛物线C于P（x1，y1），Q（x2，
y2）两点，设．
（Ⅰ）试求x1，x2的值（用λ表示）；
（Ⅱ）若λ∈[，]，求当|PQ|最大时，直线PQ的方程．
22．已知函数u（x）=xlnx﹣lnx，v（x）=x﹣a，w（x）=，三个函数的定义域均为集合A={x|x
＞1}．
（1）若u（x）≥v（x）恒成立，满足条件的实数a组成的集合为B，试判断集合A与B的
关系，并说明理由；
（2）记G（x）=[u（x）﹣w（x）][v（x）﹣]，是否存在m∈N*，使得对任意的实数a
∈（m，+∞），函数G（x）有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m；若
不存在，说明理由．（以下数据供参考：e≈2.7183，ln（+1）≈0.8814）
2016-2017学年福建省福州外国语学校高三（上）9月月
考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁RB）=（ ）
A．（1，4）B．（3，4） | C．（1，3） | D．（1，2）∪（3，4） |
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁RB）即可得出正确选项
【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁RB={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，
∴A∩（∁RB）=（3，4）
故选B
2．已知复数z1=3+4i，z2=t+i，且z1•z2是实数，则实数t等于（ ）
A． | B． | C．﹣ | D．﹣ |
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后由虚部等于0求得t的值．
【解答】解：∵z1=3+4i，z2=t+i，
∴z1•z2=（3+4i）（t+i）=（3t﹣4）+（4t+3）i，
由z1•z2是实数，得4t+3=0，即t=﹣．
故选：D．
3．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单递减的函数是（ ）
A．y=lnB．y=x3C．y=ln（x+）D．y=sin2x
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【分析】逐一分析给定四个函数的奇偶性和单调性，可得答案．
【解答】解：y=ln既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单递减，
y=x3不是偶函数，
y=ln（x+）不是偶函数，
y=sin2x是偶函数，但不是在区间（0，+∞）上单递减的函数，故选：A
4．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．3 | B．4 | C．5 | D．6 |
【考点】程序框图．
【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．
【解答】解：该程序框图是循环结构
经第一次循环得到i=1，a=2；
经第二次循环得到i=2，a=5；
经第三次循环得到i=3，a=16；
经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B
5．等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A．6 | B．5 | C．4 | D．3 |
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．
【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．
∴lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1a2•…•a8）
=
4lg10
=4．
故选：C．
6．为了得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度
C．向上平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
D．向下平移个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】直接根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．
【解答】解：为了得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点
向左平移个单位长度，
故选A．
7．设是单位向量，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件便可得到，θ表示向量（）
和向量的夹角，而由可得到，这样便得到=1﹣
cosθ，这样即可得出答案．
【解答】解：∵是单位向量，且，∴，又||=1，
∴=﹣+1
=；
∴cos=1时，的最小值为1﹣．
故选：A．
8．下列命题中正确的有（ ）
①设有一个回归方程=2﹣3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；
②命题P：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定¬P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；
③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”必要不充分条件；
④在一个2×2列联表中，由计算得k2=6.679，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系．
本题可以参考独立性检验临界值表
P（K2≥k） | 0.5 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.535 | 7.879 | 10.828 |
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据回归系数的几何性质，可判断①；根据特称命题的否定方法，可判断②；根
据充要条件的定义，可判断③；根据独立性检验，可判断④．
【解答】解：①设有一个回归方程=2﹣3x，变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位，
故错误；
②命题P：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定¬P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，故正确；
③“命题p且q为真”⇒“命题p或q为真”成立，“命题p或q为真”⇒“命题p且q为真”不成立，
故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”必要不充分条件，故正确；
④在一个2×2列联表中，由计算得k2=6.679＞6.535，则有99%的把握确认这两个变量间有关系，故错误．
故选：B．
9．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足2a+＞b且2c＜1，则含有f（x）的零点的一个区
间是（ ）
A．（0，2）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（﹣2，0）【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】由于函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，即4a﹣2b+c=f（﹣2）＞0，而f（0）=c＜0，从而得到含有f（x）零点的一个区间．
【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c，2a+＞b且2c＜1，即c＜0，
∴f（0）=c＜0，
f（﹣2）=4a﹣2b+c=2（2a+）＞0，
∴含有f（x）零点的一个区间是（﹣2，0）．
故选：A．
10．已知直线l与平面α平行，P是直线l上的一定点，平面α内的动点B满足：PB与直线l成30°．那么B点轨迹是（ ）
A．两直线 | B．椭圆C．双曲线 | D．抛物线 |
【考点】平面与圆柱面的截线．
【分析】首先给出一条直线l，在l上取一定点P，则过P与直线l成30°角的所有直线组成两个相对顶点的圆锥，直线l为对称轴，用平面α（平行于l）截圆锥可得结论．点B可理解为是截面α与圆锥侧面的交点．
【解答】解：P是直线l上的定点，有一平面α与直线l平行，平面α内的动点B满足PB的连线与l成30°角，
因为空间中过P与l成30°角的直线组成两个相对顶点的圆锥，α即为平行于圆锥轴的平面，点B可理解为是截面α与圆锥侧面的交点，所以点B的轨迹为双曲线，故答案选C．
11．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）
A． | B．1 | C． | D．2 |
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，上底是1，下底
是2，梯形的高是四棱锥的高是1×，根据四棱锥的体积公式得到结果．
【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个直角梯形，
上底是1，下底是2，梯形的高是
四棱锥的高是1×
∴四棱锥的体积是=
故选A．
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），
若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]
【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．
【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0
时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不
等式得答案．
【解答】解：当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．
∴当x＞0时，．
∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，．
∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．
故实数a的取值范围是．
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知tanα=2，则4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α=1．
【考点】弦切互化；同角三角函数间的基本关系．
【分析】把原式整理成的形式，进而分子分母同
时除以cos2α，把tanα的值代入即可．
【解答】解：4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α==
==1
故答案为：1
14．设m=20152016，n=20162015，则m，n的大小关系为m＞n．
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】通过n的取值，比较nn+1与（n+1）n的大小（整数n≥1）．然后，从分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想，得出结论
【解答】解：为了解决这个问题，先把问题一般化．即比较nn+1与（n+1）n的大小（整数n≥1）．
然后，从分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情形入手，
从中发现规律，经过归纳、猜想，得出结论．
（1）通过计算，比较下列①到⑥各组中2个数的大小．
①12，21； | ②23，32； | ③34，43； |
④45，54； | ⑤56，65； | ⑥67，76． |
（2）从第（1）小题的结果归纳，可以猜想nn+1与（n+1）n的大小关系：n=1，2时，nn+1＜（n+1）n，n＞2时，nn+1＞（n+1）n．
（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到20152016＞20162015故答案为：m＞n
15．已知实数x，y 满足，则的最小值是 ． |
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义，进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，
的几何意义是区域内的点与原点的斜率的倒数，
由图象可OA的斜率最大，
由，得A（3，2），
故的最小值是：，
故答案为：．
16．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x°，且x°＜0，则a的取值范围
是a＞2．
【考点】函数的零点．
【分析】对a进行分类讨论，再由题意可知f（）＞0，从而求出a．
【解答】解：当a=0时，函数f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不满足情况，
当a≠0时，
令f′（x）=3ax2﹣6x=0，
解得：x=0，或x=，
∵f（0）=1，f（x）存在唯一的零点x°，
∴a＜0时，函数的极小值f（）＞0，解得：a＜﹣2；但此时x°＞0
a＜0时，函数的极大值ff（）＞0，解得：a＞2；此时x°＜0
故答案为：a＞2
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
（Ⅰ）若PB=，求PA；
（Ⅱ）若∠APB=150°，设∠PBA=α，求tan2α值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知可求∠PBA=30°，在△PBA中，由余弦定理即可解得PA的值．（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sinα，在△PBA中，由正弦定理，同角三角函数基本关系式可得tanα的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．
【解答】本小题满分
解：（Ⅰ）由已知得，∠PBC=60°，
∴∠PBA=30°，
在△PBA中，由余弦定理得PA2==，
∴PA=…
（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sinα，
在△PBA中，由正弦定理得，，
化简得，，
∴tanα=，
∴．…
18．如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．
（1）求证：EA⊥EC；
（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．
①试证：EF∥AB；
②若EF=1，求三棱锥E﹣ADF的体积．
【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．
【分析】（1）利用面面垂直的性质，可得BC⊥平面ABE，再利用线面垂直的判定证明AE⊥面BCE，即可证得结论；
（2）①先证明AB∥面CED，再利用线面平行的性质，即可证得结论；
②取AB中点O，EF的中点O′，证明AD⊥平面ABE，利用等体积，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD
∴BC⊥平面ABE
∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE
∵E在以AB为直径的半圆上，∴AE⊥BE
∵BE∩BC=B，BC，BE⊂面BCE
∴AE⊥面BCE
∵CE⊂面BCE，∴EA⊥EC；
（2）①证明：设面ABE∩面CED=EF
∵AB∥CD，AB⊄面CED，CD⊂面CED，
∴AB∥面CED，
∵AB⊂面ABE，面ABE∩面CED=EF
∴AB∥EF；
②取AB中点O，EF的中点O′，
在Rt△OO′F中，OF=1，O′F=，∴OO′=
∵BC⊥面ABE，AD∥BC
∴AD⊥平面ABE
∴VE﹣ADF=VD﹣AEF===
19．某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列．
（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；
（Ⅱ）若B大学决定在成绩高的第4，5组中用
分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人
进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率．
【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出第五组的数据，再根据题意求出第一组、第四组、第
二组、第三组的数据来，由此绘制频率分布直方图；
（Ⅱ）根据分层抽样求出从第四、五组中抽取人数，组成样本，用列举法列出这六人分成两
组的基本事件数，求出第五组中的2人被分在一组的概率即可．
（另解：用排列与组合的方法求出两人被分在一组的概率也可）．
【解答】
解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，
第五组为：0.02×5×300=30人，
第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30为首项，总和为300的
等差数列，
∴第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人，45人，60人，75人，90
人．
∴绘制的频率分布直方图如右图所示；…
（Ⅱ）第四组中抽取人数：人，
第五组中抽取人数：人，
∴两组共6人；
设第四组抽取的四人为A1，A2，A3，A4，第五组抽取的2人为B1，B2，
这六人分成两组有两种情况，
情况一：B1，B2在同一小组：（A1，A2，A3），（A4，B1，B2）；（A1，A2，A4），（A3，
B1，B2）；
（A1，A3，A4），（A2，B1，B2）；（A2，A3，A4），（A1，B1，B2），共有4种可能结果；
情况二：B1，B2不在同一小组：（B1，A1，A2），（B2，A3，A4）；（B1，A1，A3），（B2，
A2，A4）；
（B1，A1，A4），（B2，A2，A3）；（B1，A2，A3），（B2，A1，A4）；
（B1，A2，A4），（B2，A1，A3）；（B1，A3，A4），（B2，A1，A2），共有6种可能结果；
两种情况总共10种可能结果，
∴两人被分在一组的概率为．…
（另解：两人被分在一组的概率为）．（此法亦可相应给分） |
20．已知正项数列{an}满足a1=2且（n+1）an2+anan+1﹣nan+12=0（n∈N*）
（Ⅰ）证明数列{an}为等差数列；
（Ⅱ）若记bn=，Sn=b1+b2+…+bn．求证：Sn＜．
【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列的求和．
【分析】（I）将（n+1）an2+anan+1﹣nan+12=0变形得：（an+an+1）[（n+1）an﹣nan+1]=0，由于
数列{an}为正项数列故有：，利用递推关系即可证明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，利用“裂
项求和方法”即可证明．
【解答】证明：（I）将（n+1）an2+anan+1﹣nan+12=0变形得：（an+an+1）[（n+1）
an﹣nan+1]=0，
由于数列{an}为正项数列故有：，
∴==…==2，
∴an=2n．
从而得知：数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
从而Sn=b1+b2+…+bn＜1+2+…+
=1+2=．
21．已知抛物线C：y2=4x，过点A（1，0）的直线交抛物线C 于P（x1，y1），Q（x2， y2）两点，设． （Ⅰ）试求x1，x2 的值（用λ 表示）； （Ⅱ）若λ∈[，]，求当|PQ|最大时，直线PQ 的方程． |
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由向量的数量积的坐标表示可得x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，代入抛物线方程可
得：λ2x2+1=λ（x2+1），λx2（λ1）=（λ1），即可求得x2=，x1=λ；
（Ⅱ）由题意可得x1•x2=1，
•=16，求得y1•y2=4，根据两点之间的距离公式求得|PQ|
的表达式，由λ∈[，]，根据二次函数的性质即可求得|PQ|最大值，求得λ 的值，求得P
和Q 的坐标，求得直线PQ 的方程．
【解答】解：（Ⅰ）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，y1）
∵，
∴x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，
∴y12=λ2y22，y12=4x1，y22=4x2，x1=λ2x2
∴λ2x2+1=λ（x2+1），λx2（λ1）=（λ1），
∵λ≠1，
∴x2=，x1=λ，…5 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，从而x1•x2=1，
从而有y1•y2=4，
则
•=16，x1•x2=16，
…
由于λ∈[，]，则，
根据二次函数的知识得：当λ+=，即λ=时，|PQ|有最小值，…
此时P（，±），Q（3，±2），
直线PQ 的方程为：…
22．已知函数u（x）=xlnxlnx，v（x）=xa，w（x）=，三个函数的定义域均为集合A={x|x
＞1}．
（1）若u（x）≥v（x）恒成立，满足条件的实数a 组成的集合为B，试判断集合A 与B 的
关系，并说明理由；
（2）记G（x）=[u（x）w（x）][v（x）
]，是否存在m∈N*，使得对任意的实数a
∈（m，+∞），函数G（x）有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数m；若
不存在，说明理由．（以下数据供参考：e≈2.7183，ln（+1）≈0.8814）
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．
【分析】（1）u（x）≥v（x）恒成立⇔a≥xxlnx+lnx=m（x），则m′（x）=，x∈
（1，+∞）．易知在（1，+∞）上递减，m'（x）＜m'（1）=1，研究其单
调性即可得出最大值．
（2）令f（x）=u（x）w（x），g（x）=v（x）
x∈（1，+∞）．由零点存在性定理
可知：∀a∈（1，+∞），函数f（x）在定义域内有且仅有一个零点．同理可知∀a∈（1，+∞），函数g（x）在定义域内有且仅有一个零点．假设存在x0 使得f（x0）=g（x0）=0，
，消a 得，令
，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）u（x）≥v（x）恒成立⇔a≥xxlnx+lnx=m（x），则m′（x）=，x∈（1，+∞）．
在（1，+∞）上递减，易知
∴m'（x）＜m'（1）=1，
存在x0∈（1，+∞），使得m'（x0）=0，函数m（x）在x∈（1，x0）递增，在x∈（x0，+∞）递减．
a≥m（x0）．
，由m'（x0）=0 得
，
∴B⊆A．
（2）
．
，
由于a∈（m，+∞）⇒a＞1，f（1）=a＜0，x→+∞，f（x）→+∞，
由零点存在性定理可知：∀a∈（1，+∞），函数f（x）在定义域内有且仅有一个零点．
，，x→+∞，g（x）→+∞，同理 可知∀a∈（1，+∞）， |
函数g（x）在定义域内有且仅有一个零点．
假设存在x0使得f（x0）=g（x0）=0，
，
消a得，
令，
．
∴h（x）递增．
∵，
∴，
此时，
所以满足条件的最小整数m=2．
2017年1月2日
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