离散系统的Z域分析

离散系统的Z域分析

一、实验目的

1、掌握离散序列z变换的计算方法。

2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。

3、掌握利用MATLAB进行z反变换的计算方法。二、实验原理与计算方法

1、z变换
离散序列x(n)的z变换定义为：X(Z)?

n????x(n)z??n。

在MATLAB中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z变换。其命令格式为：

symsn;

f=(1/2)^n+(1/3)^n;

ztrans(f)
2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件
一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h(n)来表示其输入与输出

关系，即y(n)=x(n)* h(n)
对该式两边取z变换，得： Y(z)=X(z)·H(z)则： H(z)?Y(z)X(z)

?将H(z)定义为系统函数，它是单位抽样响应h(n)的z变换，即

H(z)?Z[h(n)]?

n????h(n)z?n

?

n???对于线性移不变系统，若n<0时，h(n)=0，则系统为因果系统；若?|h(n)|??，则系统稳定。由于h(n)为因果序列，所以H(z)的收敛域为收敛圆

?h(n)z??n外部区域，因此H(z)的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。因为H(z)?，若z=1时H(z)收敛，即H(z)|z?1?

n???n????|h(n)|??，则系统稳?

定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。

因此因果稳定系统应满足的条件为：??|z|??,??1，即系统函数H(z)的所有极点全部落在z平面的单位圆之内。

3、MATLAB中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法
MATLAB中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。其中A为待求根多项式的系数构成的行向量，返回向量p是包含该多项式所有根位置的列向量。如：求多项式A(z)?z2?3z?1的根的MATLAB命令为：48

A=[13/4 1/8];

p=roots(A)
运行结果为：

p=

-0.5000

-0.2500
也可以用[z,p,k]=tf2zp(B,A)函数求得。其中z为由系统的零点构成的向量，p为由系统的极点构成的向量，k表示系统的增益；B、A分别为系统函数中分子分母多项式的系数向量。

离散系统的系统函数可能有两种形式，一种是分子和分母多项式均按

z的正
z3?2z次幂降幂排列，如H1(z)?4，另一种是分子分母多项式均按

z?3z3?2z2?2z?1
1?z?1z的负次幂升幂排列，如H2(z)?，在构造多项式系数向量时，分

111?z?1?z?2

24
子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，缺项用0补齐。对于H1(z)其分子多项式的系数向量应为：B=[01 0 2 0]；分母多项式的系数向量应为：

A=[13 2 2 1]。对于H2(z)其分子多项式的系数向量应为：B=[11 0]；分母多项式的系数向量应为：A=[11/2 1/4]。

绘制系统函数的零极点图可由MATLAB中的zplane函数实现。该函数

的调用方法为：zplane(B,A)或者zplane(z,p,k)，其中B，A，z，p，k的含义与tf2zp函数相同。若调用zplane(B,A)绘图，则首先将系统函数中分子分母多项式变换成按z的正次幂降幂排列的系数向量，再求零极点。

4、z反变换的计算方法
z反变换可由部分分式展开法求得。由于指数序列anu(n)的z变换为

因此求反变换时，通常对X(z)进行展开：z

AkA1A2X(z)????zz?z1z?z2z?zk
其中Ai?(z?zi)X(z)
z?zi(i?1,2,?k)称为有理函数X(z)的留数。zzz，z?a分两种情况进行讨论：

（1）X(z)的所有极点均为单实极点此时X(z)?A1z?A2z??Akz，则X(z)的z反变换为：z?z1z?z2z?zk

x(n)?A0??Ai?(zi)n

i?1k
（2）X(z)有共轭极点
设X(z)有一
X(z)?对共轭极点p1,2??e?j?，则Azr1zr2zAz?1??k，其中留数的计算方法与单极点相同，即z?p1z?p2z?z1z?zk
X(z)*j?，r=rr1?(z?p1)?|r|e21z?p11z
因此，只要求出X(z)部分分式展开的系数（留数），就可以直接求出X(z)z 的z反变换x(n)。在MATLAB中可利用函数residue()求解。令B和A分别是X(z)

z
的分子和分母多项式构成的系数向量，则函数[r,p,k]=residue(B,A)将产生三个向量r、p、k，其中r为包含X(z)部分分式展开系数ri(i=1,2,…,N)的列向量，p为z
包含X(z)所有极点的行向量，k为包含X(z)部分分式展开的多项式项的

系数zz
cj(j=1,2,…,M-N)的列向量，若M≤N，则k为空阵。

用residue()函数求出X(z)部分分式展开的系数后，便可根据其极点位置分z
布情况直接求出X(z)的反变换x(n)。z2如：已知X(z)?2，求其z反变换x(n)。z?3z?2
首先利用residue()函数求出X(z)?2z的部分分式展开的系数和极zz?3z?2
点，相应的MATLAB命令为：
B=[01 0];
A=[13 2];
[r,p,k]=residue(B,A)
运行结果为：

r=
2
-1
p=
-2
-1
k=
[] 由以上结果可得：X(z)?

x(n)?2(?2)n?(?1)nu(n)。??2?1；即X(z)只有两个单极点，其z反变换

为：?z?2z?1
z2?z已知X(z)?3，求其z反变换x(n)。2z?2z?2z?1z?1利用residue()函数求出X(z)?3的部分分式展开的系数和极2zz?2z?2z?1
点，可得：

B=[00 1 1];
A=[1-2 2 -1];
[r,p,k]=residue(B,A)
r=
2.0000
-1.0000+ 0.0000i
-1.0000- 0.0000i
p=
1.0000
0.5000+ 0.8660i
0.5000- 0.8660i
k=
[] 可见，X(z)包含一对共轭极点，用abs()和angle()函数即可求出共轭极点的模和z
相位，相应命令为：

p1=abs(p')
p1=

1.0000

1.0000

1.0000

a1=angle(p')/pi
a1=

0

-0.3333

0.3333 即共轭极点为：p1,2?e?j?

3，则X(z)??z
z?e?j?

3??zz?ej?

3?2z，其z反变换为：z?1
?????x(n)???2cos?n??2?u(n)?3???

三、实验内容
（1）求下列序列的z变换：
2-nu(n)；-(1/2)nu(n)；(1/2)n+(1/3)nu(n)
n=[0];
symsn; ans =
f1=2^(-n);2*z/(2*z-1)
f2=-(1/2)^n;ans =
f3=(1/2)^n+(1/3)^n;-2*z/(2*z-1)
ztrans(f1)ans =
ztrans(f2)2*z/(2*z-1)+3*z/(3*z-1)
ztrans(f3)
（2）已知两个离散因果系统的系统函数分别为：
?1?2?3z2?z2z?z?z；H2(z)?H1(z)?32?1?2z?2z?4z?11?z?z分别求出各系统的零极点，绘制零极点图，分析系统的稳定性；求出各系统单位抽样响应。

%画零极点图%求部分分式展开的系数和极点
B=[01 1 0] B=[0 0 1 1 ]
A=[12 4 1] A=[1 2 -4 1]
[z,p,k]=tf2zp(B,A)[r,p,k]=residue(B,A)
subplot(211);zplane(B,A)B=[0 0 2 -1 1]
B=[02 -1 1] A=[1 1 1/2 0 0]
A=[11 0.5 0] [r,p,k]=residue(B,A)
[z,p,k]=tf2zp(B,A)p1=abs(p')
subplot(212);zplane(B,A)a1=angle(p')/pi
因果稳定系统应满足的条件为：??|z|??,??1，即系统函数H(z)的所有极点全部落在z平面的单位圆之内。由零极点图可知：系统一不是因果稳定系统。系统二是因果稳定系统。

对于系统一：

r=
-0.1484
0.6667
-0.5182
p=
-3.3028
1.0000
0.3028
k=

[]
p1=

3.3028

1.0000

0.3028

a1=

1

0

0 ?0.14840.6667?0.5182 由以上结果可得：H1(z)?；即

H1(z)只有三个单极点，??z?3.3028z?1z?0.3028
其z反变换为：h(n)???0.1484?(?3.3028)?0.6667?0.5182?0.3028?u(n)。nn??

对系统二：

r=
3.0000- 3.0000i
3.0000+ 3.0000i
-6.0000
2.0000
p=
-0.5000+ 0.5000i
-0.5000- 0.5000i
k=
[]可见，H2(z)包含一对共轭极点，用abs()和angle()函数即可求出共轭极点的模和相位，z
p1=

0.7071

0.7071

0

0 a1 =

4，则H2(z)?z?3?3i??z?3?3i??4，其z反变换为：??

z?e?j4z?ej4

?????h(n)??3cos?n??4?u(n)?4???