高等应用数学问题的MATLAB求解chap 1

计算机数学语言概述

薛定宇、陈阳泉著《高等应用数学问题的MATLAB求解》，清华大学出版社2004CAI课件开发：薛定宇高等应用数学问题的MATLAB 求解东北大学信息学院2013-7-221本章主要内容数学问题计算机求解概述计算机数学语言概述关于本书及相关内容本章要点简介网络资源简介2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解21.1 数学问题计算机求解概述



1.1.1为什么要学习计算机数学语言？1.1.2 数学问题的解析解与数值解1.1.3数学运算问题软件包发展概述2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解31.1.1 为什么要学习计算机数学语言？

数学问题求解手工推导借助计算机用数值分析技术，从底层编写起应用现成软件进行计算机求解解析解与数值解2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解4先考虑下面一些例子【例1-1】高等数学问题：已知函数，如何求导及高阶导数？思路：①由分式求导公式，得出②逐次求导则可以得出问题：求导过程很繁杂，容易出错2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解5计算机求解结果

不是最简2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解6基于计算机的化简结果



靠手工推导的方法难以准确得出手工无从推导，计算机能，<1秒2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解7【例1-2】代数方程求根古典方法一、二、三、四阶：直接方法五阶或以上Abel定理，认为无解



现代数值方法

林士谔-Bairstrow 算法，又称为劈因子法

具体实例2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解8

双精度变量的数值方法

代入方程后的误差

精确解2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解9【例1-3】代数余子式

矩阵行列式求解问题1 个n 阶行列式可以表示成n 个n-1 阶行列式的和，…可以将高阶矩阵行列式转换成1阶矩阵行列式

结论：任意矩阵行列式解析解存在问题：忽略了可计算性

n=20, 银河机，3000年高等应用数学问题的MATLAB 求解102013-7-22

实例：Hilbert 矩阵，n=20

传统数值分析结论：矩阵奇异双精度级别下的数值解-1.1004e-195高等应用数学问题的MATLAB 求解11

2013-7-22该矩阵行列式的精确结果



近似值计算时间0.2 秒高等应用数学问题的MATLAB 求解122013-7-22【例1-4】非线性常微分方程组Van der Pol方程

没有解析解传统数值方法计算步长选择计算时间变步长



刚性方程专用方法高等应用数学问题的MATLAB 求解132013-7-22传统数学书上没有的微分方程解法

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延迟微分方程例子

分数阶微分方程

解决方法：计算机数学语言＋算法高等应用数学问题的MATLAB 求解142013-7-22【例1-5】最优化问题



求解方法：一般线性规划若找不到全局最优解，可以试遗传算法若要求为整数－－整数规划高等应用数学问题的MATLAB 求解152013-7-22其他课程的关系



其他数学分支

积分变换、复变函数、偏微分方程、数据插值与拟合、概率论与数理统计、数值分析

其他相关课程

电路、电子技术、电力电子技术、电机与拖动、自动控制原理2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解161.1.2 数学问题的解析解与数值解数学家和其他科学技术工作者的区别数学家：理论严格证明、存在性工程技术人员：如何直接得出解解析解不能使用的场合不存在数学家解决方法，引入符号erf(a)工程技术人员更感兴趣积分的值2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解数值解17

解析解不能使用的场合解析解不存在：无理数，无限不循环小数p数学家：尽量精确地取值，小日本60亿位工程技术人员：足够精确即可祖充之3.1415926，阿基米德的~3.1418



解析解存在但不实用或求解不可能

高阶矩阵行列式2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解18数值解应用场合

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在力学领域，常用有限元法求解偏微分方程；在航空、航天与自动控制领域，经常用到数值线性代数与常微分方程的数值解法等解决实际问题；

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

工程与非工程系统的计算机仿真中，核心问题的求解也需要用到各种差分方程、常微分方程的数值解法；在高科技的数字信号处理领域，离散的快速Fourier 变换(FFT) 已经成为其不可或缺的工具。…………高等应用数学问题的MATLAB 求解192013-7-221.1.3 数学运算问题软件包发展概述



享有国际声望的软件包线性代数LINPACK矩阵特征值计算LINPACKNAG (Oxford: Numerical Algorithm Group)Press W H, Flannery B P, Teukolsky S A, and Vitterling W T. Numerical recipes, the art of scientific computing. Cambridge: Cambridge University Press, 1986

2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解20软件包作用

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从历史发展角度，起了不可替代的作用对计算机数学语言的强有力支持但不能过多依赖使用烦琐应该在计算机数学语言的意义下利用之2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解21举例：求取矩阵特征值

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EISPACK 软件包解法

计算机数学语言解法：eig(A)高等应用数学问题的MATLAB 求解222013-7-22考虑一个实际编程例子



如何编写一个能求出两个矩阵相乘的计算机通用子程序？该程序正确吗？错误，未考虑矩阵是否可乘2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解23是否正确？错误，未考虑其一为标量加入标量判定，是否就是通用程序了？错误，考虑其一或二者为复数矩阵MATLAB 实现：C=A*B可见，用最底层的编程语言需要考虑的内容要多得多，所以调试起来不容易，容易出现漏洞2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解241.2 计算机数学语言概述



1.2.1 计算机数学语言MATLAB 1984 v1 The MathWorks IncMATrix LABoratory1980 Cleve Moler, New Mexico University自动控制学科的应用MathematicaMapleSciLAB：免费，全部源代码公开

2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解251.2.2 三个代表性计算机数学语言

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“三个代表”：MATLAB, Mathematica, MapleMATLAB 

数值运算、程序设计，广泛应用数学机械化，编程侧重于模式匹配可以推导公式，可以调用Maple功能

Mathematica、Maple



MATLAB+符号运算工具箱+Maple

2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解26MATLAB 语言的优势

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编程简单，类似于其他语言，如C集成度更高，扩展性更好数学问题数值解能力强大由Maple内核构成的符号运算工具箱可以继承Maple所有解析解的求解能力在数学、工程领域各种“工具箱”强大的系统仿真能力，Simulink建模在控制界是国际首选的计算机语言高等应用数学问题的MATLAB 求解272013-7-221.3 关于本书及相关内容

1.3.1 本书框架设计及内容安排

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第1章(本章)，综述MATLAB等计算机数学语言的发展概况第2章MATLAB语言程序设计基础第3章微积分问题的计算机求解第4章线性代数问题的计算机求解第5章积分变换与复变函数问题的计算机求解第6章代数方程与最优化问题的计算机求解高等应用数学问题的MATLAB 求解282013-7-22

第7章微分方程问题的计算机求解第8章数据插值、函数逼近问题的计算机求解第9章概率论与数理统计问题的计算机求解第10章数学问题的非传统解法

模糊逻辑与模糊推理神经网络在数据拟合中的应用遗传算法在最优化求解中的应用小波理论在数据处理中的应用粗糙集理论与应用分数阶微积分理论与计算高等应用数学问题的MATLAB 求解292013-7-221.3.2 本课程与其他相关课程的关系

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和数学的关系

应用数学和纯数学，数学问题机械化侧重直接获得问题的解，而不是存在性不是数值分析的MATLAB语言求解，从算法上看，选择的算法更有效，变步长、自适应的算法实现可以求解析解求解的面也更大，更全面利用计算机数学语言更好解决后续课程中的数学问题和相关计算问题高等应用数学问题的MATLAB 求解30

和数值分析的关系

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和其他后续课程的关系

2013-7-221.4 本章要点概述

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本章通过一些看起来用先修课程知识难以解决的数学问题求解来介绍学习计算机数学语言的重要性，并对当前国际上最好的计算机数学语言做出综述，并解释了本课程选择MATLAB语言的原因。本章还回顾了数学软件包和计算机数学语言的发展过程，并入门性地介绍了数学问题的解析解、数值解的基本概念，并举例说明了什么时候应该使用解析解，什么时候应该使用数值解。本章还介绍了本课程的框架以及本课程与其他相关课程之间的关系。高等应用数学问题的MATLAB 求解312013-7-22本课程的互联网资源The MathWorks公司官方网站产品与全套工具箱手册下载http://www.mathworks.com第三方工具箱下载http://www.matlabcentral.com产品在中国独家代理(北京九州恒润公司)http://www.hirain.com2013-7-22高等应用数学问题的MATLAB 求解32MATLAB大观园(薛定宇维护)本书及相关内容资源http://www.matlab-world.comMATLAB与应用论坛(薛定宇维护)http://matlab.netsh.nethttp://www.bossh.net清华大学、哈工大、上海交大、西安交大等高等应用数学问题的MATLAB 求解33博士家园论坛网站(各类数学问题)一些高校的bbs2013-7-22