2020年福建省莆田市中考数学试题含答案(word版)

数 学 试 题

（满分：150分；考试时间：120分钟）

一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的.答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分. 1. A.

1的绝对值为 2

B.1 21 2 C.2 D.-2

2. 下列运算正确的是

A.3a－a＝2 B.a·a2＝a3 C.a6÷a3＝a2 3. 一组数据3，3，4，6，8，9的中位数是 A.4 B.5 C.5.5 4. 图中三视图对应的几何体是

D.(a2)3＝a5 D.6

5. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 A.对边相等 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直

6. 如图，OP 是∠AOB的平分线，点C，D 分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是 Ａ. PC⊥OA，PD⊥OB Ｂ. OC＝OD Ｃ. ∠OPC＝∠OPD Ｄ. PC＝PD 7. 关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是 A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根

8. 规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形.下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角是60°的是 A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十边形

9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为 A.

1 3 B.

22 3 C.

2 4 D.

3 510. 如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是

A.直线 B.抛物线 C.双曲线 D.双曲线的一支

二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 莆田市海岸线蜿蜒曲折，长达217 000米.用科学记数法表示217 000为______________. 12. 在平面直角坐标系中，点P（-1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是______________.

13. 已知直线a∥b，一块直角三角板ABC按如图所示放置，若∠1＝37°，则∠2＝_______________.

14. 在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼.小红在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图.若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，估计该校学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为_____________人.

15. 如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A＝30°，则

的长为

_____________（结果保留π）.

16. 魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”，证明了勾股定理.若图中BF＝1，CF＝2，则AE的长为__________.

三、耐心做一做：本大题共10小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

117.（8分）计算：2316.

3

18.（8分）先化简，再求值：

0x2x11，其中x＝-1. 2x2x4x2x3 x-2)4,19.（8分）解不等式组：12x

x1.3

20.（8分）小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB＝62°，立杆OA＝OB＝140cm.小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由.

（参考数据：sin59°＝0.86，cos59°＝0.52，tan59°＝1.66）

21.（8分）在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌（如图所示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取2张牌.请你用列表或画树状图的方法，求抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率.

22.（8分）甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶.甲车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60 km/h. （1）（3分）求甲车的速度； （2）（5分）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值.

23.（8分）如图，在□ABCD中，∠BAC＝90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F. （1）（4分）求证：EF是⊙O的切线； （2）（4分）求证：EF2＝4BP·QP.

24.（8分）如图，反比例函数yk（x＞0）的图像与直线y＝x交于点M，∠AMB＝90°，x其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6. （1）（3分）求k的值； （2）（5分）若点P在反比例函数yk（x＞0）的图像上，若点P的横坐标为3，∠EPF ＝x90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y＝x交于点E，F.问是否存在点E，使得PE＝PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

25.（10分）若正方形的两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形.△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，各边上的高分别记为ha，hb，hc，各边上的内接正方形的边长分别记为xa，xb，xc. （1）（3分）模型探究：如图，正方形EFGH为△ABC边BC上的内接正方形. 求证：

111； ahaxa（2）（3分）特殊应用：若∠BAC＝90°，xb＝xc＝2，求

11的值； bc（3）（4分）拓展延伸：若△ABC为锐角三角形，b＜c，请你判断xb与xc的大小，并说明理由.

226.（12分）如图，抛物线C1：y3x23x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B.

（1）（3分）将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；

（2）将抛物线C1上的点（x，y）变为（kx，ky）（|k|＞1），变换后得到的抛物线记作C2.抛物线C2的顶点为C，点P在抛物线C2上，满足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°. ①（7分）当k＞1时，求k的值；

②（2分）当k＜-1时，请你直接写出k的值，不必说明理由.

参考答案及评分标准：

一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的.答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分. 1．A

2．B

3．B

4．C

5．D

6．D

7．D

8．C

9．A

10．B

二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11．2．17×105

12．（2，2） 13．53° 14．480 15．

2π 316．310

三、耐心做一做：本大题共10小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．解：原式＝3241……………………………………………………6分

＝2.……………………………………………………………8分

01（注：2332，164，1，每个各2分）

318．解：原式＝

x1x2(x2)…………………………………2分 x2（x2)(x2)x2x1……………………………………………………4分 x2x23＝.……………………………………………………………6分 x231.………………………………………………8分 当x＝-1时，原式＝

12＝

19．解：由①得：x3x64.……………………………………………1分

2x2.…………………………………………………2分

x1.………………………………………………………3分

由②得：12x3x3.………………………………………………………4分

x4.…………………………………………………………5分 x4.………………………………………………………………6分

∴原不等式组的解集为x1.………………………………………………8分

20．解：如图，过O作OE⊥AB于E. ……………………………1分 ∵OA＝OB，∠AOB＝62°，

∴∠A＝∠B ＝59°. ……………………………………………3分 在Rt△AEO中，OE＝OA·sinA＝140·sin59°

≈140×0.86＝120.4. ……………………6分

∵120.4＜122，…………………………………………………7分 ∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面. ………………8分 21．解：

……………………4分

由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，它们出现的可能性相等，抽取的2张牌的数字之和为偶数的有4种.

41.…………………………………………………8分 12328012022．解：（1）V甲＝80（km/h）.…………………………………3分

2280（2）相遇时间：2（h）. …………………………………………4分

806060238802依题意得：.………………………………………………7分 8060aP（抽取的2张牌的数字之和为偶数）＝

解得a＝75. ………………………………………………………………8分

经检验得a＝75是原分式方程的解. 23．证明：（1）如图，连接AE，OE. ∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝∠AEC＝90°. ………………1分 在□ABCD中，PA ＝PC. ∴PA＝PC＝PE.

∴∠PAE＝∠PEA. ……………………2分 ∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA. ……………………3分 ∴∠OEP＝∠OAC＝90°.

∴EF是⊙O的切线. …………………4分 （2）连接AQ.

在Rt△ABP中，∵∠AQB＝90°，

∴△APQ∽△BPA.

∴PA2＝BP·QP. …………………………………………………………6分 ∵∠PAF＝∠PCE, ∠APF＝∠CPE，PA＝PC， ∴△AFP≌△CEP.

∴PF＝PE＝PA. ………………………………………………………………7分 ∴EF2＝4BP·QP. ………………………………………………………8分 24．解：（1）如图1，过M作MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D.则 ∠MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC＝∠BMD，MC＝MD.

∴△AMC≌△BMD. ……………………………………………………1分 ∴S四边形AMBO＝ S四边形CMDO ＝6. …………………………………………2分 ∴k＝6. …………………………………………………………………3分 （2）依题意得P（3，2）.……………………………………………4分

情况1：如图2，过P作PG⊥x轴于G，过F作FH⊥PG于H，交y轴于K. ∵∠PGE＝∠PHF＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF， ∴△PEG≌△FPH.

∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3－2＝1，PH＝GE＝1. ………………………………5分 ∴E（4，0）. ……………………………………………………………………6分 情况2：如图3，同理可得E（6，0）. ………………………………………8分

25．解：（1）在正方形EFGH中.

∵EH∥FG，∴△AEH∽△ABC. ………………………………………1分 ∵AD⊥BC，∴

EHAK.………………………………………………2分 BCAD∴

xahaxa111.∴.…………………………………………3分 ahaahaxa（2）方法一：由（1）得：

111.…………………4分 bhbxb∵∠A＝90°，∴hbc.∴

111.……………………6分 bc2方法二：如图，∵FE∥AB， ∴△CEF∽△CBA.∴

FECF.………………………4分 ABCA∵xb＝xc＝2，∴AF＝EF＝2，CF＝b－2………………………5分 ∴

b22111.∴.………………………………6分 bcbc2（3）xb＞xc. ……………………………………………7分 证明：由（1）得：

111111，. bhbxbchcxc∴xb∵S＝

bhbchc，xc.………………………………………………………8分 bhbchc11bhbchc，∴bhbchc＝2S. 22又∵hbcsinA，hcbsinA， ∴

11bhb(cxc)bcsinA(cbsinA)(bc)(1sinA).………9xbxc2S2S2S分

∵b＜c，sinA＜1， ∴

110.∴xb＞xc. ……………………………………………………10分 xbxc2226.解：（1）∵y3x23x3(x1)3，

∴抛物线C1经过原点O，A（1，3）和B（2，0）三点. ………………1分 ∴变换后得到的抛物线经过原点O，（2，23）和（4，0）三点. …………2分

∴变换后得到的抛物线的解析式为y32x23x.………………………3分 2（2）①当k＞1时，∵抛物线C2经过原点O，（k，3k）和（2k，0）三点. ∴抛物线C2的解析式为y32x23x.……………………………………5分 k∴O，A，C三点共线，且顶点C为（k，3k）.

解法一：如图1，∵S△PAC＝S△ABC，∴BP∥AC. ……………………………………6分 过点P作PD⊥x轴于D，过B作BE⊥AO于E.

依题意得△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形. ∴OE＝1，CE＝BP＝2k－1. …………………………7分 ∴BD＝k31(2k1). ，PD＝22∴P（k33(2k1)）. …………………………………………………8分 ，22∴

33339(2k1)（k)223(k).解得k＝.…………………………10分 3k222解法二：如图2，过点C作MN∥x轴，交y轴于M，过点P作PN⊥MN于N，过B作BE⊥AO于E.

∵S△PAC＝S△ABC，∴PC＝BE＝3. ……………………………………6分 ∵∠PCN＝∠COM＝30°， ∴PN＝

33，CN＝. …………………………7分 2233(2k1)）. …………………………………………………8分 ，22∴P（k以下同解法一.

解法三：如图3，过点C作CM⊥x轴交BP于M，则四边形OBMC为平行四边形. ∴CM＝OB＝2，∠CMP＝60°. ∴MP＝1.……………………………………6分 ∴BP＝2k1. …………………………7分 ∴P（k33(2k1)）. …………………………………………………8分 ，22以下同解法一.

解法四：如图4，过点C作CM∥x轴于M，过点P作PN⊥CM于N，过B作BE⊥AO于E.

∵S△PAC＝S△ABC，∴PC＝BE＝3. ……………………………………6分

∵∠CPN＝∠OCM＝30°，∴CN＝

33，PN＝. …………………………7分 22∴P（k33(2k1)）. …………………………………………………8分 ，22以下同解法一.

解法五：如图1，设P（x，32x23x），则BD＝x2，PB＝CE＝2k1. k∵PD＝3BD，∴322x23x＝3（x2），整理得xkx2k0. ① k∵PB＝2BD，∴2k1＝2（x2），整理得xk联立①②，解得k＝②k＝

3. ② 29. 29.…………………………………………………………………………12分 2