2019年杭州市中考数学真题(含答案)

2019年浙江省杭州市中考数学试卷

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1.计算下列各式，值最小的是（ ）

A.20+19 B.2019 C.2019 D.2019 【答案】A

【解析】A8，B7，C7，D6.

2.在平面直角坐标系中，点Am,2与点B3,n关于y轴对称，则（ ） A. m3，n2 B.m3，n2 C.m2，n3 D.m2，n3

【答案】B

【解析】A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同.

3.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若PA3，则PB（ ）

AOPB

A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B

【解析】因为PA和PB与⊙O相切，所以PA＝PB＝3.

4.已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x人，则（ ） A.2x372x30 B.3x272x30 C.2x330x72

D.3x230x72

【答案】D

【解析】设男生x人，则女生有(30－x)人，由题意得：3x230x72.

5.点点同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）

A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差

【答案】B

【解析】这组数据中的中位数是41，与涂污数字无关.

6.如图，在△ABC中，D、E分别在AB边和AC边上，DE//BC，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（ ）

ADNEBMC

A.

ADANMNNENEANAE B.BDMNCE C.DNBMMC D.DNMCBM 【答案】C

【解析】∵DE//BC，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC， ∴

DNANANNEDNNEBMAM,AMMCBMMC. 7.在△ABC中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）

A.必有一个角等于30 B. 必有一个角等于45

C. 必有一个角等于60 D. 必有一个角等于90 【答案】D

【解析】设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180°－x－y)，则有三种情况： ①xy(180xy)y90或xy90， ②yx(180xy)x90或xy90， ③(180xy)xyx90或y90，

综上所述，必有一个角等于90°. 8.已知一次函数y1axb和y2bxa(ab)，函数y1和y2的图象可能是（ ）

yyO1xO1xA.

B.

yy1O1OxxC.

D.

【答案】A

【解析】①当a0,b0，y1、y2的图象都经过一、二、三象限， ②当a0,b0，y1、y2的图象都经过二、三、四象限，

③当a0,b0，y1的图象都经过一、三、四象限，y2的图象都经过一、二、四象限， ④当a0,b0，y1的图象都经过一、二、四象限，y2的图象都经过一、三、四象限， 满足题意的只有A.

9.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（OCOB，

点A、B、C、D、O在同一平面内），已知ABa，ADb，BCOx.则点A到OC的距离等于（ ）

A. asinxbsinx B.acosxbcosx C.asinxbcosx

D.acosxbsinx

【答案】D

【解析】过点A作AE⊥OB于点E，

因为四边形ABCD是矩形，且AB＝a，AD＝b，所以BC＝AD＝b，∠ABC＝90°， 所以∠ABE＝∠BCO＝x，

因为sinxOBBC，cosxBEAB，所以OBbsinx，BEacosx， 所以点A到OC的距离dBEOBacosxbsinx.

10.在平面直角坐标系中，已知ab，设函数yxaxb的图像与x轴有M个交点，函数yax1bx1的图像与x轴有N个交点，则（ ）

A. MN1或MN1 B. MN1或MN2 C. MN或MN1 D. MN或MN1

【答案】C 【解析】对于函数yxaxb，

当y0时，函数与x轴两交点为（－a，0）、（－b，0）， ∵ab，所以有2个交点，故M2， 对于函数yax1bx1，

①ab0，交点为(1a,0),(1b,0)，此时N2MN， ②a0,b0，交点为(1b,0)，此时N1MN1，

③b0,a0，交点为(1a,0)，此时N1MN1， 综上所述，MN或MN1.

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11.因式分解：1x2 .

【答案】(1x)(1x)

【解析】利用平方差公式1x212x2(1x)(1x).

12.某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这mn个数据的平均数等于 . 【答案】

mxnymn

【解析】平均数等于总和除以个数，所以平均数mxnymn.

13.如图，一个圆锥形冰激凌外壳（不计厚度）.已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰激凌外壳的侧面积等于 cm2（计算结果精确到个位）.

【答案】113

【解析】S侧πrlπ31236π363.14113.04113. 14.在直角三角形ABC中，若2ABAC，则cosC .

【答案】

3252或5 【解析】如图所示，分两种情况讨论，AC可以是直角边，也可以是斜边， ①当AC是斜边，设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理可得： BC＝3x，则cosCBC3x3AC2x2， ①当AC是直角边，设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理可得： BC＝5x，则cosCAC2x225BC5x55， 综上所述，cosC32或255.

CC2xx3x2x5BxAAxB

15.某函数满足当自变量x1时，函数值y0；当自变量x0时，函数值y1，写出一个满足条件的函数表达式 .

【答案】yx1或yx21或yx1等

【解析】答案不唯一，可以是一次函数，也可以是二次函数.

16.如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A点，D点的对称点为D点，若FPG90，△AEP的面积为4，

△DPH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于 .

A1D1AEPH

DBFGC

【答案】6510

【解析】∵A'E∥PF，∴∠A'EP=∠D'PH，

又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°，∴∠A'=∠D'，∴△A'EP～△D'PH， 又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P，∴A'P= D'P， 设A'P=D'P=x，

∵S△A'EP：S△D'PH=4：1，∴A'E=2D'P=2x，∴S△A'EP=

12AEAP122xxx24， ∵x0，∴x2，∴A'P=D'P=2，∴A'E=2D'P=4，

∴EPAE2AP2422225，∴PH=12EP5，

∴DHDH12AP1， ∴ADAEEPPHDH42551535， ∴ABAP2，∴S矩形ABCDABAD2(355)6510. 三、解答题（本大题有7个小题，共66分） 17.（本题满分6分）化简：4x2x24x21.

圆圆的解答如下： 4x2x24x214x2x2x24

x22x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答. 解：圆圆的解答不正确.正确解答如下：

原式4x(x2)(x2)2(x2)(x2)(x2)x24(x2)(x2)

4x(2x4)(x24)x(x2)x(x2)(x2)(x2)(x2)x2.

18.（本题满分8分）称重五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称重读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）

实际称重读数和记录数据统计表序号数据12345甲组4852474954乙组-22-3-14

实际称量读数折线统计图

记录数据折线统计图

质量（千克）质量（千克）54453523512150049-14847-2-312345序号1 2 3 4 5序号

（1）补充完整乙组数据的折线统计图；

（2）①甲、乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙，写出x甲与x乙之间的等量关系；

②甲、乙两组数据的平均数分别为S22，比较S22甲、S乙甲与S乙的大小，并说明理由.

解：（1）补全折线统计图，如图所示.

（2）①x甲x乙50.， ②S22甲S乙，理由如下：

因为S2122222乙5[(2x乙)(2x乙)(3x乙)(1x乙)(4x乙)]

1[(4850x乙)2(5250x乙)2(4750x乙)2(4950x乙)2(5450x乙25)]15[(48x甲)2(52x甲)2(47x甲)2(49x甲)2(54x甲)2]S2甲， 所以S22甲S乙.

19.（本题满分8分）如图，在△ABC中，ACABBC.

（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：APC2B；

（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若AQC3B，求B的度数.

AABPCBQC

（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，

所以PA=PB，所以∠PAB=∠B，所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B. （2）根据题意，得BQ=BA，所以∠BAQ=∠BQA，

设∠B=x，所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，所以∠BAQ=∠BQA=2x， 在△ABQ中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠B=36°.

20.（本题满分10分）方方驾驶小汽车匀速地从A地行使到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行使时间为t（单位：小时），行使速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时. ⑴求v关于t的函数表达式； ⑵方方上午8点驾驶小汽车从A出发.

①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围. ②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由. 解：（1）根据题意，得vt480，所以v480t， 因为4800，所以当v120时，t4，所以v480t(t4). （2）①根据题意，得4.8t6， 因为4800，所以

4806v4804.8，所以80v100. ②方方不能在11点30分前到达B地.理由如下： 若方方要在11点30分前到达B地，则t3.5， 所以v4803.5120，所以方方不能在11点30分前到达B地.

21.（本题满分10分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在CD边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1S2.

ADEFBHCG

(1)求线段CE的长；

(2)若点H为BC边的中点，连结HD，求证：HDHG. 解：根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°. （1）设CE=x（0因为S511=S2，所以x2=1－x，解得x=2（负根舍去），即CE=512. （2）因为点H为BC边的中点，所以CH=12，所以HD=52，

因为CG=CE=

51

2

，点H，C，G在同一直线上， 所以HG=HC+CG=

12＋512=52，所以HD=HG.

22.（本题满分12分）设二次函数yxx1xx2（x1、x2是实数）.

(1)甲求得当x0时，y0；当x1时，y0，乙求得当x1时，y122.若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由；

(2)写出二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值（用含x1、x2的代数式表示）； (3)已知二次函数的图像经过0,m，1,n两点（m、n是实数），当0x1x21时，求证：0mn116. 解：（1）乙求得的结果不正确，理由如下：

根据题意，知图象经过点（0，0），（1，0），所以yx(x1)，

当x12时，y12(11121)42，所以乙求得的结果不正确.

（2）函数图象的对称轴为xx1x22，

当xx1x2x1x22时，函数有最小值M，M2xx1x2(x1x2)212x24.

（3）因为y(xx1)(xx2)，所以mx1x2，n(1x1)(1x2)，

所以mnx1x2(1x1)(1x22)(x1x1)(x22x2)

[(x11124][(x211)222)4]，

因为0x1x21，并结合函数yx(1x)的图象，

所以0(x1211)4124，0(x111122)244，所以0mn16， 因为x11x2，所以0mn16. 23.（本题满分12分）如图，已知锐角△ABC内接于⊙O， ODBC于点D，连结AO.

（1）若BAC60. ①求证：OD12OA； ②当OA1时，求△ABC面积的最大值；

（2）点E在线段OA上，OEOD，连接DE，设ABCmOED，ACBnOED（m、n是正数），若ABCACB，

求证：mn20.

AEOBDC

（1）①证明：连接OB，OC， 因为OB=OC，OD⊥BC，所以∠BOD=

12∠BOC=12×2∠BAC=60°， 所以OD=

12OB=12OA， ②作AF⊥BC，垂足为点F， 所以AF≤AD≤AO+OD=

32，等号当点A，O，D在同一直线上时取到，由①知，BC=2BD=3，

所以△ABC的面积12BCAF12332343， 即△ABC面积的最大值是343.

（2）设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，

因为△ABC是锐角三角形，所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°， 即(mn)180 （*）

又因为∠ABC<∠ACB，所以∠EOD=∠AOC+∠DOC2m， 因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°，所以2(m1)180（**） 由（*），（**），得mn2(m1)，即mn20.