高中数学必修五综合考试卷
第I卷（选择题）
一、单选题 1．数列
的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
2．不等式A．
B．
的解集是（ ）
C．
D．
3．若变量满足 ，则的最小值是（ ）
A． B． C． D． 4
2
4．在实数等比数列{an}中，a2，a6是方程x－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A． 8 B． －8 C． ±8 D． 以上都不对
5．己知数列为正项等比数列，且，则（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 6．数列1,2,3,41214181,L前n项的和为（ ） 161n2n1n2n1n2n1n2n1 C．nA． n B． n D． n1
222222227．若
的三边长
成公差为的 等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角
形的面积为（ ）
A． B． C． D．
,则B等于( )
8．在△ABC中，已知
A． 30° B． 60° C． 30°或150° D． 60°或120° 9．下列命题中正确的是( ) A． a＞b?ac＞bc B． a＞b?a＞b10．满足条件
2
2
2
2
C． a＞b?a＞b D． a＞b?a＞b
3322
，的的个数是 ( )
A． 1个 B． 2个 C． 无数个 D． 不存在 11．已知函数（ ） A． D．
B．
C．
满足：
则
应满足
12．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且A． -2 B． -3 C． 2 D． 3
成等比数列，则为 （ ）
13．等差数列的前10项和，则等于（ ）
A． 3 B． 6 C． 9 D． 10
14．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题 15．已知
为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差=
16．在中，，，面积为，则边长=_________.
17．已知中，，， ，则面积为_________.
18．若数列19．直线
的前n项和，则的通项公式____________
下方的平面区域用不等式表示为________________．
20．函数的最小值是 _____________．
21．已知
三、解答题
，且，则的最小值是______．
22．解一元二次不等式 （1） 23．△
的角、、的对边分别是
、
、
。
（2）
（1）求边上的中线的长； （2）求△ 24．在
中，角
所对的边分别为
，且
.
的面积。
（1）求的大小.
（2）若
，求的最大值.
25．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n.
(1)求数列{an}的通项公式； (2) 求证：{an}是等差数列.
2
26．已知公差不为零的等差数列{an}中， S2＝16，且（1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{|an|}的前n项和Tn.
成等比数列.
27．已知数列是公差不为0的等差数列，，成等比数列.
（1）求；
（2）设
，数列的前项和为，求.
28．某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐8吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
29．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，＝Sn＋1＋Sn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设，求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式． 【详解】
观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，
故可得数列的通项公式an=故选：C． 【点睛】
（n∈Z）．
*
本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的通项公式的求法，是基础题． 2．C 【解析】 【分析】
根据分式不等式的意义可转化为整式不等式【详解】 原不等式等价于集是【点睛】
本题主要考查了分式不等式的解法，属于中档题.
.
且
，解得
，所以原不等式的解且
，即可求解.
3．A 【解析】 【分析】
画出可行域，令目标函数，即，做出直线时，z有最小值.
，平移该直线当直线过
可行域且在y轴上截距最大时，即过点【详解】
可行域为如图所示的四边形及其内部，令目标函数 ，即，过
点时，所在直线在y轴上的截距【点睛】
取最大值，此时取得最小值，且.
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想方法，属于中档题. 4．A 【解析】 【分析】
利用根与系数的关系、等比数列的性质即可得出． 【详解】
等比数列{an}中，a2，a6是方程x﹣34x+64=0的两根，
2
∴a2+a6=34＞，a2?a6=64=，又偶数项的符号相同，∴a4＞0． 则a4=8． 故选：A． 【点睛】
本题考查了等比数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题． 5．B
【解析】∵数列为等比数列，且
∴，
即，
又，
∴6．B 【
．选B．
解析】
1111nn122n111Sn123LnLn12224812 ，故选B. 7．B 【解析】
试题分析：根据题意设三角形的三边最大角为,,则
nn111n22由三角形两边之和大于第三边知即,由余弦定理得，即,计算得出:.三角形的三边分别为该三角形的面积为:所以选项是正确的. 考点：等差数列，余弦定理，三角形面积.
【思路点晴】本题给出三角形中三条边成公差为的等差数列，利用等差中项巧设三边这样只引入了一个变量，根据三角形中大边对大角，则最大角为边所对的角，根据，得到，从而得到三边分别为
8．A 【解析】 【分析】
由正弦定理【详解】
知，所以得或，根据三角形边角关系可得。
由正弦定理得，
，所以或
，
又因为在三角形中，【点睛】
，所以有，故，答案选A。
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，较简单基础。 9．C 【解析】
试题分析：对于选项A,根据不等式的性质，只有c>0时，能成立，故错误
选项B中，当a=0,b=-1,时，此时a>b，但是不满足平方后的a>b，成立，故错误。 选项D中，因为当a>b时，比如a=-2,b=0,的不满足a>b，故错误，排除法只有选C. 考点：本试题主要考查了不等式的性质的运用。
点评：解决该试题的关键是注意可乘性的运用。只有同时乘以正数不等号方向不变。 10．B 【解析】
2
2
2
2
解：因为满足条件即11．C 【解析】 【分析】
，利用余弦定理可知得到关于c的一元二次方程，，可知有两个不等的正根，因此有两解，选B
列出不等式组，作出其可行域，利用线性规划求出f（3）的最值即可． 【详解】
：∵﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤5，
∴
作出可行域如图所示：
，
令z=f（3）=9a﹣c，则c=9a﹣z，
由可行域可知当直线c=9a﹣z经过点A时，截距最大，z取得最小值， 当直线c=9a﹣z经过点B时，截距最小，z取得最大值．
联立方程组可得A（0，1），
∴z的最小值为9×0﹣1=﹣1，
联立方程组，得B（3，7），
∴z的最大值为9×3﹣7=20． ∴﹣1≤f（3）≤20． 故选：C．
【点睛】
本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 12．D 【解析】 【分析】
由等差数列知，求解即可. 【详解】
，又三数成等比数列，所以，
因为
，故选D. 【点睛】
，又成等比数列，所以，解得
本题主要考查了等差数列通项公式及等比中项，属于中档题. 13．A 【解析】 【分析】
由题意结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意可得：，
则，由等差数列的性质可得： .
本题选择A选项. 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．C 【解析】 【分析】
根据等差数列的求和公式进行变形可得【详解】
，结合条件代入后可得所求的值．
由等差数列的求和公式可得，
故选C． 【点睛】
本题考查等差数列的求和公式和项的下标和的性质，解题时要注意等差数列的项与和之间的联系，关键是等差数列中项的下标和性质的灵活运用，考查变化和应用能力． 15．B 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可． 【详解】
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得
，即
解得d=-， 故选：B． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用． 16．4 【解析】 【分析】
由已知利用三角形面积公式可求c 【详解】
，
∵A=60°,b=1,面积为=bcsinA=×1×c×， ∴解得：c=4， 【点睛】
在解三角形面积时有三个公式可选择，但是题上已知角A，所以我们需抓取S=bcsinA
17． 【解析】 【分析】
由已知及正弦定理可得sin（A﹣B）=0，结合A，B的范围，可求﹣π＜A﹣B＜π，进而求得A﹣B=0，可得a=b=1，利用余弦定理可求cosA，同角三角函数基本关系式可求sinA，根据三角形面积公式即可计算得解．
【详解】 ∵acosB=bcosA，
∴由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，可得：sin（A﹣B）=0， ∵0＜A＜π，0＜B＜π，可得：﹣π＜A﹣B＜π， ∴A﹣B=0，可得：a=b=1，
∴cosA===，可得：sinA=，
∴S△ABC=bcsinA==．
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18．【解析】 【分析】
把的式子代入已知中得到数列的首项，再由
表示首项为
，公比为
时，，推得，
得到数列【详解】
的等比数列，即可求解.
由题意，当时，，解得，
当时，，
即，所以，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，
所以数列【点睛】
的通项公式为.
本题主要考查了等比数列的通项公式，及数列与的关系的应用，其中熟记数列的与的关系式，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 19．【解析】 【分析】 作出直线【详解】 点
在直线
的下方，应使不等式成立， 下方的平面区域用不等式表示为
．
，判断O所在的平面区域，即可得到结论．
所以直线故答案为：【点睛】
本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，先判断原点对应的不等式是解决本题的关键，比较基础． 20．5 【解析】 【分析】
先对函数的解析式变形，再利用基本不等式求最小值.
【详解】
由题得+1.(当且仅当即x=2时取等)
故答案为：5 【点睛】
（1）本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.本题解题的关键是变形21．9 【解析】 【分析】
+1.
直接将代数式4x+y与【详解】
相乘，利用基本不等式可求出的最小值．
由基本不等式可得，当且仅当
，等号成立，因此的最小值为9，
故答案为：9． 【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 22．（1）(-3,1)；（2）R.
【解析】 【分析】
利用因式分解即可 利用判别式即可得到答案 【详解】 （1）由得解得
， 。
，
所以不等式的解集为(-3,1)。 （2）因为所以不等式【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题。
的解集为R。
，
23．（1）【解析】 【分析】
；（2）
（1）由余弦定理得
求出的值。
可以求出的值，再通过
（2）通过【详解】
计算出的值，再通过计算出的面积。
（1）在中，由余弦定理得 ，
，
由是边上的中点知在
,
中，由余弦定理知，
，
所以 ，
（2）由（1）知，三角形中 ，
，
，
，所以
【点睛】
的面积是。
本题考察的是解三角形，要对解三角形的正弦定义、余弦定理、三角形面积公式有着足够的了解。
24．（1）；（2）【解析】 【分析】
（1）将余弦定理与已知等式相结合求出函数值即可求出的大小；（2）将代入可得果.
的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角
，利用基本不等式即可得结
【详解】
（1）
（2）
，
.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 25．（1）an＝34－2n.（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）当时，又当 常数即可．
时，，即可得出．
（2）只要证明：【详解】
解 (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n. 故{an}的通项为an＝34－2n.
(2)证明：an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2. 故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．（1）an＝11－2n(n∈N)．（2）见解析． 【解析】 【分析】
*
(1)S2＝16，成等比数列，解得首项和公差进而得到通项；
（2）当n≤5时，Tn＝a1＋a2＋…＋an, 直接按照等差数列求和公式求和即可, n≥6,Tn＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－ …－an =n－10n＋50,写成分段即可. 【详解】
2
（1）由S2＝16，成等比数列，得
*
解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N)．
（2）当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n＋10n.
当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－ …－an＝2S5－Sn＝2×(－5＋10×5)－(－n＋10n)＝n－10n＋50， 故Tn＝ 【点睛】
2
2
2
2
数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，
但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
27．（1）【解析】 【分析】
；（2）
（1）设数列的首项为，公差为，由成等比数列，列出方程，求得，即
可得到数列的通项公式；
（2）由（1）得【详解】
，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.
（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d（d≠0），则an＝a1＋(n－1)d． 因为a2，a3，a5成等比数列， 所以(a1＋2d)＝(a1＋d)(a1＋4d)， 化简得，a1d＝0， 又因为d≠0，
所以a1＝0，又因为a4＝a1＋3d＝3， 所以d＝1． 所以an＝n－1． （2）bn＝n·2
0
n－12
，
2
n－1
Tn＝1·2＋2·2＋3·2＋…＋n·2
1
2
3
1
， ①
n
则2Tn＝1·2＋2·2＋3·2＋…＋n·2 ． ② ①－②得，
－Tn＝1＋2＋2＋…＋2＝－n·2 ＝(1－n)·2－1． 所以，Tn＝(n－1)·2＋1． 【点睛】
n
nn 1
2
n－1
－n·2，
n
本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
28．生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元． 【解析】 【分析】
设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元，列出线性约束条件，再利用线性规划求解. 【详解】
设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元． 目标函数为z＝x＋，
约束条件为：，
可行域如图中阴影部分的整点．
当直线y＝－2x＋2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大．
解方程组
所以zmax＝x＋＝3.
得：M点坐标为(2,2)．
所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元． 【点睛】
(1)本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和应用能力.(2) 线性规划问题步骤如下：①根据题意，设出变量数
；②列出线性约束条件；③确定线性目标函
；④画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；⑤利用线性目标函数
；⑥观察图形，找到直线
在可行域
作平行直线系
上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.
29．(1)【解析】 【分析】
； （2）.
（1）a＝Sn＋1＋Sn①，当n≥2时，a＝Sn＋Sn－1②，①－②得a－a＝an＋1＋an可推出an＋1－an＝1，即可求解（2）利用错位相减法求和即可. 【详解】
(1)因为a＝Sn＋1＋Sn，① 所以当n≥2时，a＝Sn＋Sn－1，②
①－②得a－a＝an＋1＋an，即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an，
因为an>0，所以an＋1－an＝1，所以数列{an}从第二项起，是公差为1的等差数列． 由①知a＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2， 所以当n≥2时，an＝2＋(n－2)×1，即an＝n.③ 又因为a1＝1也满足③式，所以an＝n(n∈N)．
*
(2)由(1)得
2
3
＝(2n－1)·2，Tn＝2＋3·2＋5·2＋…＋(2n－1)·2，④
n
n＋1
n23n
2Tn＝2＋3·2＋…＋(2n－3)·2＋(2n－1)·2
2
n
，⑤
n＋1
④－⑤得－Tn＝2＋2×2＋…＋2×2－(2n－1)·2，
所以－Tn＝2＋－(2n－1)·2
n＋1
，
故Tn＝(2n－3)·2【点睛】
n＋1
＋6.
本题主要考查了数列前n项和与的关系，错位相减法求和，以及由递推关系求通项，属于难题.
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