高考数学复习第九讲复数

数学 第九讲 复数

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21. ⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）； ② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a； ③ 虚数—当b0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数]

2若z1z2，则z1z20.（√）

②若a,b,cC，则(ab)(bc)(ca)0是abc的必要不充分条件.（当(ab)i，

22222(bc)21,(ca)20时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.

其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离. 由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）. ⑵曲线方程的复数形式：

①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程. ②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.

③zz1zz22a（a0且2az1z2）表示以Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若

2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.

④zz1zz22a（02az1z2），表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若

2az1z2，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1z2z1z2z1z2.

左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）. ②z1z2z1z2z1z2.

左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）. 注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An. 3. 共轭复数的性质：

zz z1z2z1z2 zz2a，zz2bi（za + bi） zz|z|2|z|2

z1z2z1z2 z1z2z1z2

z1z2z1（z20） zn(z)n z2注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4. ⑴①复数的乘方：znzzz...z(nN) n②对任何z，z1,z2C及m,nN有 ③zzzmnmnn,(zm)nzmn,(z1z2)nzn1z2

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i21,i41若由

1(i4)2112i21就会得到11的错误结论.

22②在实数集成立的|x|x. 当x为虚数时，|x|x，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. ⑵常用的结论：

i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1

inin1in2in30,(nZ) (1i)22i,1i1ii,i 1i1i若是1的立方虚数根，即131i，则  3  1 , 2   ,   2 , n   n 1   n 2  0 ( n  Z ).  , 1   0225. ⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件： ①zRzz.

②若z0，z是纯虚数zz0.

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⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：|z||z|.

6. ⑴复数的三角形式：zr(cosisin). 辐角主值：适合于0≤＜2的值，记作argz. 注：①z为零时，argz可取[0,2)内任意值. ②辐角是多值的，都相差2的整数倍. ③设aR,则arga0,arg(a),argai⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

2,arg(ai)3. 2abir(cosisin)，ra2b2，cos⑶几类三角式的标准形式：

ab,sin. rrr(cosisin)r[cos()isin()] r(cosisin)r[cos()isin()] r(cosisin)r[cos()isin()]

r(sinicos)r[cos(2)isin(2)]

7. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于x的一元二次方程axbxc0(a0)时，应注意下述问题： ①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2若＜0，则有二相等复数根x1,22bb；若=0，则有二相等实数根x1,2；2a2ab||i2a（x1,2为共轭复数）.

②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.

③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算：

r1(cos1isin2)r2(cos2isin2)r1r2[cos(12)isin(12)]

r1(cos1isin2)r1[cos(12)isin(12)]

r2(cos2isin2)r2棣莫弗定理：[r(cosisin)]r(cosnisinn).

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