法律分析：私下签订的汽车买卖合同只要双方具备相应的民事行为能力，出于真实自愿的的目的，不违反法律的强制性规定，不违背公序良俗，达成一致合意并签署那么就是合法有效的。 当事人依法享有自愿订立合同的权利，任何单位和个人不得非法干预。 当事人订立、履行合同，应当遵守法律、行政法规，尊重社会公德，不得扰乱社会经济秩序，损害社会公共利益。
法律依据：《中华人民共和国民法典》 第一百四十三条 具备下列条件的民事法律行为有效：
（一）行为人具有相应的民事行为能力；
（二）意思表示真实；
（三）不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗。